$x$ に関する2つの不等式 $(x - a^2)(x - 2a + 2) \le 0$ …① $|2x - 1| \le 2$ …② がある。$a$ は実数の定数とする。 (1) $a = 0$ のとき、①を解け。 (2) ②を解け。 (3) ①かつ②を満たす整数 $x$ がちょうど1個だけ存在するような $a$ の値の範囲を求めよ。

## 解答

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1. 問題の内容

$x$ に関する2つの不等式

$(x - a^2)(x - 2a + 2) \le 0$ …①

$|2x - 1| \le 2$ …②

がある。$a$ は実数の定数とする。

(1) $a = 0$ のとき、①を解け。

(2) ②を解け。

(3) ①かつ②を満たす整数 $x$ がちょうど1個だけ存在するような $a$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $a = 0$ のとき、不等式①は $x^2(x + 2) \le 0$ となる。

$x^2 \ge 0$ であるから、$x + 2 \le 0$ または $x = 0$ である。

したがって、$x \le -2$ または $x = 0$。

(2) 不等式②は $-2 \le 2x - 1 \le 2$ と同値である。

各辺に1を加えて $-1 \le 2x \le 3$。

各辺を2で割って $-\frac{1}{2} \le x \le \frac{3}{2}$。

(3) ①かつ②を満たす整数 $x$ がちょうど1個だけ存在する場合を考える。

②より $-\frac{1}{2} \le x \le \frac{3}{2}$ であるから、整数 $x$ は 0 または 1 である。

* $a^2 < 2a - 2$ のとき、①の解は $a^2 \le x \le 2a - 2$。

* $a^2 > 2a - 2$ のとき、①の解は $x \le 2a - 2$ または $x \ge a^2$。

* $a^2 = 2a - 2$ のとき、$a = 1 \pm i$となり、問題文より、$a$は実数という前提なので、$a^2 \neq 2a - 2$

(i) 整数 $x$ が 0 のみの場合。

$x = 0$ が ①かつ②を満たし、$x = 1$ が ①を満たさない。

* $a^2 < 2a - 2$ のとき。 $a^2 \le 0 \le 2a - 2$。これはありえない。

* $a^2 > 2a - 2$ のとき。

$a=0$ のとき、①の解は$x \leq -2$ または $x \geq 0$。②の解は$-\frac{1}{2} \leq x \leq \frac{3}{2}$。これらを両方満たすのは$x=0$。

したがって、$1 < a^2$ または $1 > 2a - 2$。

$a^2 > 1$ から $a < -1$ または $a > 1$。

$2a - 2 < 1$ から $a < \frac{3}{2}$。

まとめると $a < -1$ または $1 < a < \frac{3}{2}$。

(ii) 整数 $x$ が 1 のみの場合。

$x = 1$ が ①かつ②を満たし、$x = 0$ が ①を満たさない。

* $a^2 < 2a - 2$ のとき。 $a^2 \le 1 \le 2a - 2$。これはありえない。

* $a^2 > 2a - 2$ のとき。

$1 \le 2a - 2$ または $1 \ge a^2$。

$a^2 > 1$ かつ $2a - 2 < 0$

$2a - 2 \ge 1$ から $a \ge \frac{3}{2}$。

$a^2 \le 1$ から $-1 \le a \le 1$。

$1 > a^2$から、$a < -1$ または $a > 1$

$2a - 2 < 0$から、$a < 1$

したがって、$a \geq \frac{3}{2}$

まとめると、$a < -1$ または $1 < a < \frac{3}{2}$ または $a \ge \frac{3}{2}$。つまり、$a < -1$ または $a > 1$

3. 最終的な答え

(1) $x \le -2$ または $x = 0$

(2) $-\frac{1}{2} \le x \le \frac{3}{2}$

(3) $a < -1$ または $a > 1$

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1. 問題の内容

$m$ を実数の定数とする。$xy$ 平面上に、

円 $C: x^2 + y^2 - 2x - 6y + 9 = 0$

直線 $l: y = mx$

がある。

(1) $C$ の中心の座標と半径を求めよ。

(2) $C$ と $l$ が接するような $m$ の値を求めよ。

(3) (2) のときの $C$ と $l$ の接点を $P$ とする。$P$ において $l$ に接し、$x$ 軸上に中心があるような円の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 円 $C$ の方程式を変形する。

$x^2 - 2x + y^2 - 6y + 9 = 0$

$(x - 1)^2 - 1 + (y - 3)^2 - 9 + 9 = 0$

$(x - 1)^2 + (y - 3)^2 = 1$

したがって、円 $C$ の中心の座標は $(1, 3)$、半径は 1。

(2) 円 $C$ と直線 $l$ が接するとき、円の中心 $(1, 3)$ と直線 $y = mx$ すなわち $mx - y = 0$ との距離が半径 1 に等しい。

点と直線の距離の公式より、

$\frac{|m(1) - 3|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = 1$

$|m - 3| = \sqrt{m^2 + 1}$

両辺を2乗して $(m - 3)^2 = m^2 + 1$

$m^2 - 6m + 9 = m^2 + 1$

$-6m = -8$

$m = \frac{4}{3}$

(3) (2) より、$l: y = \frac{4}{3}x$。

円 $C: (x - 1)^2 + (y - 3)^2 = 1$ と直線 $l: y = \frac{4}{3}x$ の接点 $P$ を求める。

$C$ と $l$ が接するので、連立させて、

$(x - 1)^2 + (\frac{4}{3}x - 3)^2 = 1$

$x^2 - 2x + 1 + \frac{16}{9}x^2 - 8x + 9 = 1$

$\frac{25}{9}x^2 - 10x + 9 = 0$

$25x^2 - 90x + 81 = 0$

$(5x - 9)^2 = 0$

$x = \frac{9}{5}$

$y = \frac{4}{3} \cdot \frac{9}{5} = \frac{12}{5}$

したがって、$P(\frac{9}{5}, \frac{12}{5})$。

求める円の中心を $(a, 0)$ とすると、円は $P$ において $l$ に接するので、中心 $(a, 0)$ と直線 $l: 4x - 3y = 0$ との距離は円の半径 $r$ に等しい。

$r = \frac{|4a - 3(0)|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} = \frac{|4a|}{5}$

また、円は点 $P(\frac{9}{5}, \frac{12}{5})$ を通るので、

$(a - \frac{9}{5})^2 + (\frac{12}{5})^2 = (\frac{|4a|}{5})^2$

$25(a^2 - \frac{18}{5}a + \frac{81}{25}) + 25 \cdot \frac{144}{25} = 16a^2$

$25a^2 - 90a + 81 + 144 = 16a^2$

$9a^2 - 90a + 225 = 0$

$a^2 - 10a + 25 = 0$

$(a - 5)^2 = 0$

$a = 5$

したがって、円の中心は $(5, 0)$ であり、半径は $r = \frac{|4 \cdot 5|}{5} = 4$。

求める円の方程式は $(x - 5)^2 + y^2 = 16$。

3. 最終的な答え

(1) 中心 $(1, 3)$, 半径 1

(2) $m = \frac{4}{3}$

(3) $(x - 5)^2 + y^2 = 16$