この問題は、まず $x$ についての2つの不等式を与え、それらを解くことを要求しています。その後、これらの不等式を同時に満たす整数 $x$ がちょうど1個となるような $a$ の範囲を求めます。また、円と直線が与えられ、円の中心の座標と半径、円と直線が接する条件、およびある条件を満たす円の方程式を求めます。

1. 問題の内容

この問題は、まず $x$ についての2つの不等式を与え、それらを解くことを要求しています。その後、これらの不等式を同時に満たす整数 $x$ がちょうど1個となるような $a$ の範囲を求めます。また、円と直線が与えられ、円の中心の座標と半径、円と直線が接する条件、およびある条件を満たす円の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

[1]

(1) $a=0$ のとき、不等式①は $x^2(x+2) \le 0$ となります。$x^2 \ge 0$ なので、$x+2 \le 0$ である必要があります。したがって $x \le -2$ です。ただし、$x=0$ の場合は $0 \le 0$ となり、不等式を満たします。従って $x \le -2$ または $x=0$ となります。

(2) 不等式②は $|2x-1| \le 2$ です。これは $-2 \le 2x-1 \le 2$ と同値です。各辺に1を加えると $-1 \le 2x \le 3$ となり、各辺を2で割ると $-\frac{1}{2} \le x \le \frac{3}{2}$ となります。

(3) ①と②を満たす整数 $x$ がちょうど1個となるような $a$ の範囲を求めます。②より $-\frac{1}{2} \le x \le \frac{3}{2}$ なので、整数 $x$ は $x=0, 1$ のいずれかです。

①の不等式 $(x-a^2)(x-2a+2) \le 0$ について考えます。

ケース1: $a^2 < 2a-2$

このとき、$a^2 \le x \le 2a-2$ となります。

ケース2: $a^2 > 2a-2$

このとき、$2a-2 \le x \le a^2$ となります。

ケース3: $a^2 = 2a-2$

このとき、$a^2 = 2a-2$ つまり $a^2-2a+2 = 0$ となり、これは実数解を持ちません。

$x$ が0のみの場合、不等式①は $a^2 > 0$, $2a-2 > 0$ を満たし、$2a-2 < 1$ かつ $a^2 > 1$ が成り立ちます。

$a > 1$, $a > 1$ より、$1 < a < 3/2$となります。

$x$ が1のみの場合、$2a-2 < 1$ かつ $a^2 > 1$ となり、$1 < a$ かつ$2a-2 > 0$

$a^2 < 1$ を満たします。

$-1 < a < 1$ より、$2a-2 < 0$となります。

[2]

(1) 円 $C$ の方程式 $x^2 + y^2 - 2x - 6y + 9 = 0$ を変形すると $(x-1)^2 + (y-3)^2 = 1$ となります。したがって、円 $C$ の中心の座標は $(1, 3)$ で、半径は $1$ です。

(2) 直線 $l: y = mx$ と円 $C$ が接する条件は、円の中心と直線の距離が半径に等しいことです。円の中心 $(1, 3)$ と直線 $mx - y = 0$ の距離は $\frac{|m(1) - 3|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \frac{|m-3|}{\sqrt{m^2 + 1}}$ です。これが半径1に等しいので、$\frac{|m-3|}{\sqrt{m^2 + 1}} = 1$ となります。両辺を2乗すると $(m-3)^2 = m^2 + 1$ となり、$m^2 - 6m + 9 = m^2 + 1$ より $-6m = -8$ となります。したがって $m = \frac{4}{3}$ です。

(3) 接点 $P$ において直線 $l$ に接し、$x$ 軸上に中心があるような円の方程式を求めます。円の中心を $(c, 0)$ とすると、求める円の方程式は $(x-c)^2 + y^2 = r^2$ となります。円 $C$ の中心 $(1, 3)$ と直線 $y = \frac{4}{3}x$ の距離が1であることから接点$P$は$(1-\frac{3}{5}, 3-\frac{12}{5}) = (\frac{2}{5}, \frac{3}{5})$

$P$を中心とする。

$\frac{|(c-1, 0-3) \cdot(4,-3)|}{5} = r$

3. 最終的な答え

[1]

(1) $x \le -2$ または $x = 0$

(2) $-\frac{1}{2} \le x \le \frac{3}{2}$

(3) $1 < a < \frac{3}{2}$

[2]

(1) 中心: $(1, 3)$, 半径: $1$

(2) $m = \frac{4}{3}$

(3) $(x-\frac{2}{5})^2 + (y-\frac{3}{5})^2 = 1$を満たす円

$\sqrt{(c-\frac{2}{5})+(-\frac{3}{5})} =$

円は、$(x-\frac{17}{15}) + y^2 = (\frac{8}{5})