関数 $f(x) = 2 \cdot 4^x - 3 \cdot 2^{x+1} + 2 \cdot 2^{-2x+1} - 3 \cdot 2^{-x}$ が与えられている。$2^x + 2^{-x} = t$ とおくとき、$y = f(x)$ を $t$ で表し、さらに $f(x)$ の最小値を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = 2 \cdot 4^x - 3 \cdot 2^{x+1} + 2 \cdot 2^{-2x+1} - 3 \cdot 2^{-x}$ が与えられている。$2^x + 2^{-x} = t$ とおくとき、$y = f(x)$ を $t$ で表し、さらに $f(x)$ の最小値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を変形する。

$4^x = (2^x)^2$, $2^{x+1} = 2 \cdot 2^x$, $2^{-2x+1} = 2 \cdot (2^{-x})^2$, $2^{-x}$ となるので、

$f(x) = 2(2^x)^2 - 6 \cdot 2^x + 4(2^{-x})^2 - 3 \cdot 2^{-x}$

$f(x) = 2(2^x)^2 + 4(2^{-x})^2 - 6 \cdot 2^x - 3 \cdot 2^{-x}$

ここで、$t = 2^x + 2^{-x}$ であるから、$t^2 = (2^x + 2^{-x})^2 = (2^x)^2 + 2 \cdot 2^x \cdot 2^{-x} + (2^{-x})^2 = (2^x)^2 + (2^{-x})^2 + 2$

よって、$(2^x)^2 + (2^{-x})^2 = t^2 - 2$

また、$t (2^x + 2^{-x})$ とすると、$2^x + 2^{-x} = t$ から $2^x = \frac{t \pm \sqrt{t^2-4}}{2}$、$2^{-x} = \frac{t \mp \sqrt{t^2-4}}{2}$　となり、相加相乗平均の関係から、$2^x + 2^{-x} \ge 2\sqrt{2^x \cdot 2^{-x}} = 2\sqrt{1} = 2$

したがって、$t \ge 2$

ここで、

$f(x) = 2((2^x)^2 + 2(2^{-x})^2) -3(2 \cdot 2^x + 2^{-x})$

$2(2^x+2^{-x}) = 2 \cdot 2^x+2 \cdot 2^{-x} =2t$

$f(x) = 2((2^x)^2 + 2 \cdot (2^{-x})^2) - 6 \cdot 2^x - 3 \cdot 2^{-x}$ は異なる。

$2^x+2^{-x}=t$ より $t^2 = (2^x)^2 + 2 + (2^{-x})^2$ であるから、 $(2^x)^2 + (2^{-x})^2 = t^2 - 2$.

$f(x) = 2 \cdot 4^x - 3 \cdot 2 \cdot 2^x + 2 \cdot 2 \cdot (2^{-x})^2 - 3 \cdot 2^{-x}$

$= 2(2^x)^2 - 6 \cdot 2^x + 4 (2^{-x})^2 - 3 \cdot 2^{-x}$

$t = 2^x + 2^{-x}$ より

$2(2^x)^2 + 4(2^{-x})^2 =2 \cdot 4^x - 3 \cdot 2^x 4(2^{-x})^2 - 3 \cdot 2^{-x}$

$4(2^x+2^{-x})^2 = 4t^2$

$t^2 = (2^x + 2^{-x})^2 = (2^x)^2 + 2(2^x)(2^{-x}) + (2^{-x})^2 = (2^x)^2 + (2^{-x})^2 + 2$

$(2^x)^2 + (2^{-x})^2 = t^2-2$

$y=f(x) = 2(2^x)^2 - 6 \cdot 2^x + 4(2^{-x})^2 - 3 \cdot 2^{-x} = 2 (2^{2x}) - 6 \cdot 2^x + 4 \cdot 2^{-2x} - 3 \cdot 2^{-x}$

ここで $u = 2^x$ と置くと

$f(x) = 2u^2 - 6u + \frac{4}{u^2} - \frac{3}{u} = 2u^2 - 6u + \frac{4}{u^2} - \frac{3}{u}$

$t = u + \frac{1}{u}$ なので $u^2 + \frac{1}{u^2} = t^2 - 2$

よって、$f(x)=2(t^2-2)-6 \cdot 2^x-3 \cdot 2^{-x}$

$f(x) = 2 \cdot (2^x)^2-6\cdot 2^x+4\cdot(2^{-x})^2-3\cdot 2^{-x}$

$f(x) = 2 \cdot 4^x-6 \cdot 2^x+4\cdot 4^{-x}-3\cdot 2^{-x}$

$y=2t^2 - 6t +5$

$= 2(t^2-3t) + 5 = 2(t^2 -3t +\frac{9}{4}) - \frac{9}{2} + 5$

$= 2(t-\frac{3}{2})^2 + \frac{1}{2}$

$t \ge 2$ のとき、$t=\frac{3}{2}$ は範囲外なので、$t=2$のとき最小となる。

$y = 2(2-\frac{3}{2})^2 + \frac{1}{2} = 2(\frac{1}{4}) + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$

3. 最終的な答え

$y = 2t^2 - 11t + 10$

$f(x)$ の最小値は $1$