放物線 $y = 2x^2 + 1$ を平行移動したもので、頂点が直線 $y = 3x - 2$ 上にあり、かつ点 $(3, 12)$ を通る放物線をグラフにもつ2次関数を求めよ。

1. 問題の内容

放物線 $y = 2x^2 + 1$ を平行移動したもので、頂点が直線 $y = 3x - 2$ 上にあり、かつ点 $(3, 12)$ を通る放物線をグラフにもつ2次関数を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 平行移動後の放物線の式を $y = 2(x - p)^2 + q$ とおく。

(2) 頂点 $(p, q)$ が直線 $y = 3x - 2$ 上にあるので、$q = 3p - 2$ が成り立つ。

(3) したがって、放物線の式は $y = 2(x - p)^2 + 3p - 2$ と表せる。

(4) 放物線が点 $(3, 12)$ を通るので、 $x = 3$, $y = 12$ を代入すると、

$12 = 2(3 - p)^2 + 3p - 2$

これを整理すると、

$12 = 2(9 - 6p + p^2) + 3p - 2$

$12 = 18 - 12p + 2p^2 + 3p - 2$

$0 = 2p^2 - 9p + 4$

$(2p - 1)(p - 4) = 0$

よって、$p = \frac{1}{2}, 4$

(5) $p = \frac{1}{2}$ のとき、$q = 3p - 2 = 3(\frac{1}{2}) - 2 = \frac{3}{2} - 2 = -\frac{1}{2}$

よって、放物線の式は

$y = 2(x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} = 2(x^2 - x + \frac{1}{4}) - \frac{1}{2} = 2x^2 - 2x + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 2x^2 - 2x$

(6) $p = 4$ のとき、$q = 3p - 2 = 3(4) - 2 = 12 - 2 = 10$

よって、放物線の式は

$y = 2(x - 4)^2 + 10 = 2(x^2 - 8x + 16) + 10 = 2x^2 - 16x + 32 + 10 = 2x^2 - 16x + 42$

3. 最終的な答え

$y = 2x^2 - 2x$ または $y = 2x^2 - 16x + 42$