不等式 $5x + 4 < x - 26 < 2x + a$ を満たす整数 $x$ が7個のとき、$a$ の取り得る値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

不等式 $5x + 4 < x - 26 < 2x + a$ を満たす整数 $x$ が7個のとき、$a$ の取り得る値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$5x + 4 < x - 26 < 2x + a$ を2つの不等式に分解します。

1. $5x + 4 < x - 26$

2. $x - 26 < 2x + a$

1つ目の不等式を解きます。

$5x + 4 < x - 26$

$4x < -30$

$x < -\frac{30}{4} = -\frac{15}{2} = -7.5$

2つ目の不等式を解きます。

$x - 26 < 2x + a$

$-x < a + 26$

$x > -a - 26$

したがって、$-a - 26 < x < -7.5$ となります。

この範囲に含まれる整数 $x$ が7個であることから、$x$ の取り得る値は $-7, -8, -9, -10, -11, -12, -13$ となります。

したがって、$-14$ は範囲に含まれず、$-13$ は範囲に含まれる必要があります。

これより、

$-14 \le -a - 26 < -13$ が成り立ちます。

この不等式を解きます。

まず、$-14 \le -a - 26$ より、

$12 \le -a$

$a \le -12$

次に、$-a - 26 < -13$ より、

$-a < 13$

$a > -13$

したがって、$-13 < a \le -12$ となります。

3. 最終的な答え

$-13 < a \le -12$