与えられた連立不等式 $\begin{cases} x - \frac{4-x}{2} < 7 & \cdots ① \\ 2 - x < x - 2(a+3) & \cdots ② \end{cases}$ について、以下の問いに答える。 (1) 不等式①と②の解をそれぞれ求める。 (2) 不等式①と②を同時に満たす整数 $x$ がただ一つであるような整数 $a$ の値を求める。 (3) $x \ge 0$ を満たすすべての $x$ に対して、不等式②が成立するような $a$ の範囲を求める。

1. 問題の内容

与えられた連立不等式

$\begin{cases}

x - \frac{4-x}{2} < 7 & \cdots ① \\

2 - x < x - 2(a+3) & \cdots ②

\end{cases}$

について、以下の問いに答える。

(1) 不等式①と②の解をそれぞれ求める。

(2) 不等式①と②を同時に満たす整数 $x$ がただ一つであるような整数 $a$ の値を求める。

(3) $x \ge 0$ を満たすすべての $x$ に対して、不等式②が成立するような $a$ の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) 不等式①を解く。

$x - \frac{4-x}{2} < 7$

両辺に2を掛けて

$2x - (4-x) < 14$

$2x - 4 + x < 14$

$3x < 18$

$x < 6$

不等式②を解く。

$2 - x < x - 2(a+3)$

$2 - x < x - 2a - 6$

$2x > 2 + 2a + 6$

$2x > 2a + 8$

$x > a + 4$

(2) ①と②を同時に満たす $x$ は、$a+4 < x < 6$。これを満たす整数 $x$ がただ一つであるような整数 $a$ を求める。

$x$ がただ一つなので、その整数を5とする。

$a+4 < 5 \le 6$ より、$a < 1$ である。

$a+4$ が4以上になると、 $a+4 < x < 6$ に 4 と 5が含まれてしまうので、$a+4$ は4より小さくなければならない。

$a+4 \le 4$ つまり、$a \le 0$ であると、4 < x < 6となり整数解が5のみとなることはない。

したがって、$a+4$ は4未満でなければならず、$a+4 < 4 < 5$ となる整数 $a$ を探す。

$a < 0$ が必要。

$a=0$のとき、$4 < x < 6$ で、$x = 5$ なので、整数解は一つ。

$a=-1$のとき、$3 < x < 6$ で、$x = 4, 5$ なので、整数解は二つ。

したがって、$a = 0$ 。

(3) $x \ge 0$ を満たすすべての $x$ に対して、$2-x < x - 2(a+3)$ が成立する条件を求める。

$2-x < x - 2a - 6$ より、$x > a + 4$

この不等式が、$x \ge 0$ を満たすすべての $x$ で成立するには、$a + 4 < 0$ であればよい。

$a < -4$

3. 最終的な答え

(1) ①の解：$x < 6$

②の解：$x > a + 4$

(2) $a = 0$

(3) $a < -4$