## 数学の問題の解答

## 数学の問題の解答

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1. 問題の内容

画像にある4つの2次関数の問題について、それぞれ解答を求めます。

(1) 頂点が $(-1, 4)$ で、点 $(1, -4)$ を通る放物線をグラフにもつ2次関数を求める。

(2) 2次関数 $y = x^2 - 6x + a$ のグラフの頂点が点 $(b, -4)$ であるとき、$a$ と $b$ の値を求める。

(3) 2次関数 $y = -x^2 + 4x + 3$ ($0 \le x \le 3$) について、最大値と最小値、およびそのときの $x$ の値を求める。

(4) 2次関数 $y = 2x^2 + 4x - 3$ ($0 \le x \le 2$) について、最大値と最小値、およびそのときの $x$ の値を求める。

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2. 解き方の手順

**(1) 頂点が (-1, 4) で、点 (1, -4) を通る放物線をグラフにもつ2次関数**

* 頂点の座標が分かっているので、2次関数は $y = a(x + 1)^2 + 4$ と表せる。

* このグラフが点 $(1, -4)$ を通るので、 $x = 1$, $y = -4$ を代入して $a$ の値を求める。

$-4 = a(1 + 1)^2 + 4$

$-4 = 4a + 4$

$-8 = 4a$

$a = -2$

* よって、2次関数は $y = -2(x + 1)^2 + 4$ となる。これを展開して整理する。

$y = -2(x^2 + 2x + 1) + 4$

$y = -2x^2 - 4x - 2 + 4$

$y = -2x^2 - 4x + 2$

**(2) 2次関数 $y = x^2 - 6x + a$ のグラフの頂点が点 (b, -4) であるとき、a と b の値を求める**

* $y = x^2 - 6x + a$ を平方完成する。

$y = (x - 3)^2 - 9 + a$

* 頂点の座標は $(3, -9 + a)$ である。

* 頂点の $y$ 座標が $-4$ であるから、 $-9 + a = -4$。したがって $a = 5$。

* 頂点の $x$ 座標は $b = 3$。

**(3) 2次関数 $y = -x^2 + 4x + 3$ ($0 \le x \le 3$) について、最大値と最小値、およびそのときの x の値を求める**

* $y = -x^2 + 4x + 3$ を平方完成する。

$y = -(x - 2)^2 + 4 + 3$

$y = -(x - 2)^2 + 7$

* 頂点の座標は $(2, 7)$ である。

* $x = 0$ のとき、$y = -0^2 + 4(0) + 3 = 3$。

* $x = 3$ のとき、$y = -3^2 + 4(3) + 3 = -9 + 12 + 3 = 6$。

* $0 \le x \le 3$ の範囲で、頂点 $(2, 7)$ が含まれているので、最大値は $7$ ($x = 2$ のとき)。

* 最小値は $3$ ($x = 0$ のとき)。

**(4) 2次関数 $y = 2x^2 + 4x - 3$ ($0 \le x \le 2$) について、最大値と最小値、およびそのときの x の値を求める**

* $y = 2x^2 + 4x - 3$ を平方完成する。

$y = 2(x^2 + 2x) - 3$

$y = 2(x + 1)^2 - 2 - 3$

$y = 2(x + 1)^2 - 5$

* 頂点の座標は $(-1, -5)$ である。

* $x = 0$ のとき、$y = 2(0)^2 + 4(0) - 3 = -3$。

* $x = 2$ のとき、$y = 2(2)^2 + 4(2) - 3 = 8 + 8 - 3 = 13$。

* $0 \le x \le 2$ の範囲で、頂点 $(-1, -5)$ は含まれていない。

* したがって、最大値は $13$ ($x = 2$ のとき)。

* 最小値は $-3$ ($x = 0$ のとき)。

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3. 最終的な答え

(1) $y = -2x^2 - 4x + 2$

(2) $b = 3$, $a = 5$

(3) $x = 2$ のとき、最大値 $7$ をとり、$x = 0$ のとき、最小値 $3$ をとる。

(4) $x = 2$ のとき、最大値 $13$ をとり、$x = 0$ のとき、最小値 $-3$ をとる。