極形式で表された複素数 $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ について、$r \neq 0$ のとき、$\frac{1}{z} = \frac{1}{r}(\cos(-\theta) + i\sin(-\theta))$ となることを示す問題です。

1. 問題の内容

極形式で表された複素数 $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ について、$r \neq 0$ のとき、$\frac{1}{z} = \frac{1}{r}(\cos(-\theta) + i\sin(-\theta))$ となることを示す問題です。

2. 解き方の手順

まず、複素数 $z$ の逆数 $\frac{1}{z}$ を求めます。

$z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ より、

$$\frac{1}{z} = \frac{1}{r(\cos\theta + i\sin\theta)}$$

分母を実数化するために、分子と分母に $\cos\theta - i\sin\theta$ をかけます。

$$\frac{1}{z} = \frac{\cos\theta - i\sin\theta}{r(\cos\theta + i\sin\theta)(\cos\theta - i\sin\theta)}$$

分母を展開すると、

$$(\cos\theta + i\sin\theta)(\cos\theta - i\sin\theta) = \cos^2\theta - i^2\sin^2\theta = \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$$

したがって、

$$\frac{1}{z} = \frac{\cos\theta - i\sin\theta}{r}$$

$$\frac{1}{z} = \frac{1}{r}(\cos\theta - i\sin\theta)$$

ここで、$\cos(-\theta) = \cos\theta$ かつ $\sin(-\theta) = -\sin\theta$ であることを利用すると、

$$\frac{1}{z} = \frac{1}{r}(\cos(-\theta) + i\sin(-\theta))$$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{z} = \frac{1}{r}(\cos(-\theta) + i\sin(-\theta))$