方程式 $x^{\log_3 x} = 729x$ の実数解を全て求める問題です。

1. 問題の内容

方程式 $x^{\log_3 x} = 729x$ の実数解を全て求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x > 0$ である必要があります。

方程式の両辺の底が3の対数をとります。

$\log_3 (x^{\log_3 x}) = \log_3 (729x)$

$\log_3 x \cdot \log_3 x = \log_3 729 + \log_3 x$

$(\log_3 x)^2 = \log_3 (3^6) + \log_3 x$

$(\log_3 x)^2 = 6 + \log_3 x$

ここで、$t = \log_3 x$ とおくと、

$t^2 = 6 + t$

$t^2 - t - 6 = 0$

$(t-3)(t+2) = 0$

したがって、$t = 3$ または $t = -2$

$t = \log_3 x$ なので、

$\log_3 x = 3$ または $\log_3 x = -2$

$x = 3^3$ または $x = 3^{-2}$

$x = 27$ または $x = \frac{1}{9}$

3. 最終的な答え

$x = 27, \frac{1}{9}$