行列 $A = \begin{pmatrix} a & 1 & 0 \\ 1 & a & 1 \\ 0 & 1 & a \end{pmatrix}$ が正則であるための $a$ の条件を求める。

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{pmatrix} a & 1 & 0 \\ 1 & a & 1 \\ 0 & 1 & a \end{pmatrix}$ が正則であるための $a$ の条件を求める。

2. 解き方の手順

行列 $A$ が正則であるための条件は、その行列式が0でないことです。

まず、$A$ の行列式を計算します。

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\det(A) = a \begin{vmatrix} a & 1 \\ 1 & a \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & a \end{vmatrix} + 0 \begin{vmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{vmatrix}

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\det(A) = a(a^2 - 1) - 1(a - 0) + 0

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\det(A) = a^3 - a - a

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\det(A) = a^3 - 2a

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\det(A) = a(a^2 - 2)

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行列 $A$ が正則であるためには、$\det(A) \neq 0$ でなければなりません。

したがって、$a(a^2 - 2) \neq 0$ です。

これは、$a \neq 0$ かつ $a^2 - 2 \neq 0$ を意味します。

$a^2 - 2 \neq 0$ から、$a^2 \neq 2$ となり、$a \neq \pm \sqrt{2}$ が得られます。

したがって、$a \neq 0$, $a \neq \sqrt{2}$, $a \neq -\sqrt{2}$ です。

3. 最終的な答え

$a \neq 0, \pm \sqrt{2}$