$\frac{1}{3-\sqrt{5}}$ の小数部分を $a$ とするとき、$a$ の値を求めなさい。選択肢の中から選ぶ形式です。

1. 問題の内容

$\frac{1}{3-\sqrt{5}}$ の小数部分を $a$ とするとき、$a$ の値を求めなさい。選択肢の中から選ぶ形式です。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{1}{3-\sqrt{5}}$ を有理化します。分母と分子に $3+\sqrt{5}$ を掛けます。

$\frac{1}{3-\sqrt{5}} = \frac{1}{3-\sqrt{5}} \times \frac{3+\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}$

$= \frac{3+\sqrt{5}}{(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})}$

$= \frac{3+\sqrt{5}}{3^2 - (\sqrt{5})^2}$

$= \frac{3+\sqrt{5}}{9-5}$

$= \frac{3+\sqrt{5}}{4}$

$\sqrt{5}$ の近似値を考えます。$\sqrt{4} = 2$ で $\sqrt{9} = 3$ なので、$2 < \sqrt{5} < 3$ です。より正確には、$\sqrt{5} \approx 2.236$ です。

したがって、$\frac{3+\sqrt{5}}{4} \approx \frac{3+2.236}{4} = \frac{5.236}{4} \approx 1.309$ です。

$\frac{3+\sqrt{5}}{4}$ の整数部分は $1$ です。小数部分は $a = \frac{3+\sqrt{5}}{4} - 1$ となります。

$a = \frac{3+\sqrt{5}}{4} - \frac{4}{4}$

$a = \frac{3+\sqrt{5}-4}{4}$

$a = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$

3. 最終的な答え

ア. $\frac{\sqrt{5}-1}{4}$