次の複素数を極形式で表せ。 (1) $-2$ (2) $3i$ (3) $2-2i$ (4) $ai$ ($a \in \mathbb{R}$)

1. 問題の内容

次の複素数を極形式で表せ。

(1) $-2$

(2) $3i$

(3) $2-2i$

(4) $ai$ ($a \in \mathbb{R}$)

2. 解き方の手順

複素数 $z = x + yi$ の極形式は $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ で表されます。ここで、 $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ は絶対値、 $\theta$ は偏角です。

(1) $z = -2$ の場合、$x = -2$, $y = 0$ なので、$r = \sqrt{(-2)^2 + 0^2} = 2$ です。偏角 $\theta$ は $\cos\theta = -1$, $\sin\theta = 0$ を満たすので、$\theta = \pi$ です。よって、 $-2 = 2(\cos\pi + i\sin\pi)$ となります。

(2) $z = 3i$ の場合、$x = 0$, $y = 3$ なので、$r = \sqrt{0^2 + 3^2} = 3$ です。偏角 $\theta$ は $\cos\theta = 0$, $\sin\theta = 1$ を満たすので、$\theta = \frac{\pi}{2}$ です。よって、$3i = 3(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2})$ となります。

(3) $z = 2 - 2i$ の場合、$x = 2$, $y = -2$ なので、$r = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ です。偏角 $\theta$ は $\cos\theta = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$, $\sin\theta = \frac{-2}{2\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ を満たすので、$\theta = -\frac{\pi}{4}$ （または $\frac{7\pi}{4}$）です。よって、$2 - 2i = 2\sqrt{2}(\cos(-\frac{\pi}{4}) + i\sin(-\frac{\pi}{4}))$ となります。

(4) $z = ai$ の場合、$x = 0$, $y = a$ なので、$r = \sqrt{0^2 + a^2} = |a|$ です。

もし $a > 0$ なら、偏角 $\theta$ は $\cos\theta = 0$, $\sin\theta = 1$ を満たすので、$\theta = \frac{\pi}{2}$ です。よって、$ai = |a|(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}) = a(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2})$ となります。

もし $a < 0$ なら、偏角 $\theta$ は $\cos\theta = 0$, $\sin\theta = -1$ を満たすので、$\theta = -\frac{\pi}{2}$ （または $\frac{3\pi}{2}$）です。よって、$ai = |a|(\cos(-\frac{\pi}{2}) + i\sin(-\frac{\pi}{2})) = -a(\cos(-\frac{\pi}{2}) + i\sin(-\frac{\pi}{2}))$ となります。

もし $a=0$なら、$0 = 0(\cos\theta + i\sin\theta)$ です。$\theta$は任意。

場合分けをせずに表すなら，$ai = |a|(\cos(\frac{\pi}{2}sgn(a)) + i\sin(\frac{\pi}{2}sgn(a)))$ 。ただし，$sgn(a)$は符号関数で、$a>0$ のとき $1$，$a<0$ のとき $-1$，$a=0$ のとき $0$ を返します．

3. 最終的な答え

(1) $-2 = 2(\cos\pi + i\sin\pi)$

(2) $3i = 3(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2})$

(3) $2 - 2i = 2\sqrt{2}(\cos(-\frac{\pi}{4}) + i\sin(-\frac{\pi}{4}))$

(4) $ai = |a|(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2})$ (if $a > 0$), $|a|(\cos(-\frac{\pi}{2}) + i\sin(-\frac{\pi}{2}))$ (if $a < 0$), or $0(\cos\theta + i\sin\theta)$ (if $a = 0$).

もしくは，$ai = |a|(\cos(\frac{\pi}{2}sgn(a)) + i\sin(\frac{\pi}{2}sgn(a)))$ 。