画像の2次関数の問題について、以下の7つの問題を解きます。 (1) $f(x) = 2x^2 - 3x + 1$ において、$f(-1)$ を求めます。 (2) $y = 2x^2 + 4x - 1$ のグラフの頂点の座標を求めます。 (3) $y = 3x^2 - 6x - 1$ のグラフの軸の方程式を求めます。 (4) $y = 2x^2$ のグラフを $x$ 軸方向に $-3$、$y$ 軸方向に $-4$ だけ平行移動させたときの式を求めます。 (5) $y = -x^2$ のグラフを $x$ 軸方向に $5$、$y$ 軸方向に $-1$ だけ平行移動させたときの式を求めます。 (6) $y = 3x^2 - 12x + 13$ の最小値と最大値を求めます。 (7) $y = -x^2 + 6x - 4$ の最大値と最小値を求めます。

1. 問題の内容

画像の2次関数の問題について、以下の7つの問題を解きます。

(1) $f(x) = 2x^2 - 3x + 1$ において、$f(-1)$ を求めます。

(2) $y = 2x^2 + 4x - 1$ のグラフの頂点の座標を求めます。

(3) $y = 3x^2 - 6x - 1$ のグラフの軸の方程式を求めます。

(4) $y = 2x^2$ のグラフを $x$ 軸方向に $-3$、$y$ 軸方向に $-4$ だけ平行移動させたときの式を求めます。

(5) $y = -x^2$ のグラフを $x$ 軸方向に $5$、$y$ 軸方向に $-1$ だけ平行移動させたときの式を求めます。

(6) $y = 3x^2 - 12x + 13$ の最小値と最大値を求めます。

(7) $y = -x^2 + 6x - 4$ の最大値と最小値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $f(-1) = 2(-1)^2 - 3(-1) + 1 = 2 + 3 + 1 = 6$

(2) $y = 2x^2 + 4x - 1 = 2(x^2 + 2x) - 1 = 2(x^2 + 2x + 1 - 1) - 1 = 2(x+1)^2 - 2 - 1 = 2(x+1)^2 - 3$

頂点は $(-1, -3)$

(3) $y = 3x^2 - 6x - 1 = 3(x^2 - 2x) - 1 = 3(x^2 - 2x + 1 - 1) - 1 = 3(x-1)^2 - 3 - 1 = 3(x-1)^2 - 4$

軸は $x = 1$

(4) $y = 2x^2$ を $x$ 軸方向に $-3$、$y$ 軸方向に $-4$ だけ平行移動すると、

$y + 4 = 2(x + 3)^2$ より、

$y = 2(x+3)^2 - 4 = 2(x^2 + 6x + 9) - 4 = 2x^2 + 12x + 18 - 4 = 2x^2 + 12x + 14$

(5) $y = -x^2$ を $x$ 軸方向に $5$、$y$ 軸方向に $-1$ だけ平行移動すると、

$y + 1 = -(x-5)^2$ より、

$y = -(x-5)^2 - 1 = -(x^2 - 10x + 25) - 1 = -x^2 + 10x - 25 - 1 = -x^2 + 10x - 26$

(6) $y = 3x^2 - 12x + 13 = 3(x^2 - 4x) + 13 = 3(x^2 - 4x + 4 - 4) + 13 = 3(x-2)^2 - 12 + 13 = 3(x-2)^2 + 1$

最小値は $x=2$ のとき $1$。最大値は存在しない。

(7) $y = -x^2 + 6x - 4 = -(x^2 - 6x) - 4 = -(x^2 - 6x + 9 - 9) - 4 = -(x-3)^2 + 9 - 4 = -(x-3)^2 + 5$

最大値は $x=3$ のとき $5$。最小値は存在しない。

3. 最終的な答え

(1) 6

(2) $(-1, -3)$

(3) $x = 1$

(4) $y = 2x^2 + 12x + 14$

(5) $y = -x^2 + 10x - 26$

(6) 最小値: 1, 最大値: なし

(7) 最大値: 5, 最小値: なし