2次関数 $y = x^2 - 4x + a^2 - 3a + 4$ （ただし、$a$ は正の定数）について、以下の問いに答えます。 (1) 関数①のグラフの頂点の座標を $a$ を用いて表す。 (2) $0 \le x \le 4$ における関数①の最大値と最小値の差を求める。 (3) $0 \le x \le a$ における関数①の最大値を $M$ 、最小値を $m$ とするとき、$M - m = 1$ となるような $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 - 4x + a^2 - 3a + 4$ （ただし、$a$ は正の定数）について、以下の問いに答えます。

(1) 関数①のグラフの頂点の座標を $a$ を用いて表す。

(2) $0 \le x \le 4$ における関数①の最大値と最小値の差を求める。

(3) $0 \le x \le a$ における関数①の最大値を $M$ 、最小値を $m$ とするとき、$M - m = 1$ となるような $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 頂点の座標を求める。

与えられた2次関数を平方完成します。

$y = x^2 - 4x + a^2 - 3a + 4$

$y = (x - 2)^2 - 4 + a^2 - 3a + 4$

$y = (x - 2)^2 + a^2 - 3a$

したがって、頂点の座標は $(2, a^2 - 3a)$ です。

(2) $0 \le x \le 4$ における最大値と最小値の差を求める。

頂点の $x$ 座標は $x=2$ であり、$0 \le x \le 4$ の範囲に含まれます。

したがって、$x=2$ で最小値 $m = a^2 - 3a$ をとります。

次に最大値を求めます。

$x=0$ のとき $y = a^2 - 3a + 4$

$x=4$ のとき $y = 4^2 - 4(4) + a^2 - 3a + 4 = a^2 - 3a + 4$

$x=0$ と $x=4$ で同じ値をとるので、最大値は $M = a^2 - 3a + 4$ です。

最大値と最小値の差は

$M - m = (a^2 - 3a + 4) - (a^2 - 3a) = 4$

(3) $0 \le x \le a$ における最大値 $M$ 、最小値 $m$ を求める。$M - m = 1$ となる $a$ の値を求める。

頂点の $x$ 座標は $x=2$ であることに注意します。

i) $0 < a \le 2$ のとき

$x=0$ で最大値 $M = a^2 - 3a + 4$ をとり、$x=a$ で最小値 $m = a^2 - 4a + a^2 - 3a + 4 = 2a^2 -7a +4$ をとる。

$x=2$ で最小値 $m = a^2 - 3a$ をとる。

$0 \le x \le a$ の範囲では、$M=f(0)=a^2-3a+4$、 $m = f(a)= a^2-4a+a^2-3a+4 = 2a^2-7a+4$.

最小値は頂点、$x=2$ でとるので、$m = f(2)=4-8+a^2-3a+4=a^2-3a.$

$M-m = (a^2-3a+4) - (a^2-3a) = 4 =1$ となる $a$ は存在しない。

ii) $a > 2$ のとき

$x=2$ で最小値 $m = a^2 - 3a$ をとり、$x=0$ と $x=a$ のどちらかで最大値をとる。

$x=0$ のとき $M = a^2 - 3a + 4$

$x=a$ のとき $M = a^2 - 4a + a^2 - 3a + 4 = 2a^2 - 7a + 4$

$x=0$ のとき$M - m = (a^2 - 3a + 4) - (a^2 - 3a) = 4 \ne 1$

$x=a$ のとき$M - m = (2a^2 - 7a + 4) - (a^2 - 3a) = a^2 - 4a + 4 = (a - 2)^2 = 1$

$a - 2 = \pm 1$ より、$a = 3$ または $a = 1$

$a > 2$ より $a = 3$

3. 最終的な答え

(1) $(2, a^2 - 3a)$

(2) $4$

(3) $a = 3$