1. (1) 多項式 $A = 2x^2 - 3x + 1$ を多項式 $B = x - 2$ で割ったときの商と余りを求めよ。 (2) 多項式 $A = x^3 + x + 3$ を多項式 $B = x^2 + 2x - 1$ で割ったときの商と余りを求めよ。 (3) 多項式 $A = 4x^3 - 6x^2 - 7$ を多項式 $B = 2x^2 + 1$ で割ったときの商と余りを求めよ。

1. 問題の内容

1. (1) 多項式 $A = 2x^2 - 3x + 1$ を多項式 $B = x - 2$ で割ったときの商と余りを求めよ。

(2) 多項式 $A = x^3 + x + 3$ を多項式 $B = x^2 + 2x - 1$ で割ったときの商と余りを求めよ。

(3) 多項式 $A = 4x^3 - 6x^2 - 7$ を多項式 $B = 2x^2 + 1$ で割ったときの商と余りを求めよ。

2. 多項式 $3x^3 + 4x^2 + x - 3$ をある多項式 $B$ で割ると、商が $x + 1$、余りが $2x - 1$ である。このとき、多項式 $B$ を求めよ。

2. 解き方の手順

1. (1)

$2x^2 - 3x + 1$ を $x - 2$ で割る。

\begin{array}{r}

2x+1 \\

x-2 \overline{) 2x^2 - 3x + 1} \\

\underline{-(2x^2 - 4x)} \\

x+1 \\

\underline{-(x-2)} \\

3

\end{array}

商は $2x + 1$、余りは $3$。

2. (2)

$x^3 + x + 3$ を $x^2 + 2x - 1$ で割る。

\begin{array}{r}

x-2 \\

x^2+2x-1 \overline{) x^3 + 0x^2 + x + 3} \\

\underline{-(x^3 + 2x^2 - x)} \\

-2x^2 + 2x + 3 \\

\underline{-(-2x^2 - 4x + 2)} \\

6x + 1

\end{array}

商は $x - 2$、余りは $6x + 1$。

3. (3)

$4x^3 - 6x^2 - 7$ を $2x^2 + 1$ で割る。

\begin{array}{r}

2x-3 \\

2x^2+1 \overline{) 4x^3 - 6x^2 + 0x - 7} \\

\underline{-(4x^3 + 2x)} \\

-6x^2 - 2x - 7 \\

\underline{-(-6x^2 - 3)} \\

-2x - 4

\end{array}

商は $2x - 3$、余りは $-2x - 4$。

4. 多項式 $B$ を求める。

$3x^3 + 4x^2 + x - 3 = B(x) \cdot (x + 1) + (2x - 1)$

$B(x) \cdot (x + 1) = 3x^3 + 4x^2 + x - 3 - (2x - 1) = 3x^3 + 4x^2 - x - 2$

$B(x) = \frac{3x^3 + 4x^2 - x - 2}{x + 1}$

\begin{array}{r}

3x^2+x-2 \\

x+1 \overline{) 3x^3 + 4x^2 - x - 2} \\

\underline{-(3x^3 + 3x^2)} \\

x^2 - x - 2 \\

\underline{-(x^2 + x)} \\

-2x - 2 \\

\underline{-(-2x - 2)} \\

0

\end{array}

$B(x) = 3x^2 + x - 2$

3. 最終的な答え

1. (1) 商: $2x + 1$, 余り: $3$

(2) 商: $x - 2$, 余り: $6x + 1$

(3) 商: $2x - 3$, 余り: $-2x - 4$

2. $B(x) = 3x^2 + x - 2$