2次関数 $y = x^2 - 4x + a^2 - 3a + 4$ について、以下の問いに答えます。ただし、$a$ は正の定数です。 (1) グラフの頂点の座標を $a$ を用いて表します。 (2) $0 \le x \le 4$ における最大値と最小値の差を求めます。 (3) $0 \le x \le a$ における最大値を $M$、最小値を $m$ とするとき、$M - m = 1$ となる $a$ の値を求めます。

はい、承知いたしました。以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 - 4x + a^2 - 3a + 4$ について、以下の問いに答えます。ただし、$a$ は正の定数です。

(1) グラフの頂点の座標を $a$ を用いて表します。

(2) $0 \le x \le 4$ における最大値と最小値の差を求めます。

(3) $0 \le x \le a$ における最大値を $M$、最小値を $m$ とするとき、$M - m = 1$ となる $a$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 頂点の座標を求めます。

与えられた2次関数を平方完成します。

$y = x^2 - 4x + a^2 - 3a + 4$

$y = (x - 2)^2 - 4 + a^2 - 3a + 4$

$y = (x - 2)^2 + a^2 - 3a$

よって、頂点の座標は $(2, a^2 - 3a)$ です。

(2) $0 \le x \le 4$ における最大値と最小値の差を求めます。

頂点の $x$ 座標は $x = 2$ であり、これは定義域 $0 \le x \le 4$ に含まれます。

したがって、最小値は頂点の $y$ 座標 $a^2 - 3a$ です。

最大値は $x = 0$ または $x = 4$ でとります。

$x = 0$ のとき、$y = a^2 - 3a + 4$

$x = 4$ のとき、$y = 16 - 16 + a^2 - 3a + 4 = a^2 - 3a + 4$

いずれの場合も $y = a^2 - 3a + 4$ です。

したがって、最大値は $a^2 - 3a + 4$ です。

最大値と最小値の差は

$(a^2 - 3a + 4) - (a^2 - 3a) = 4$

(3) $0 \le x \le a$ における最大値を $M$、最小値を $m$ とするとき、$M - m = 1$ となる $a$ の値を求めます。

頂点の $x$ 座標は $x = 2$ です。

$a$ の値によって場合分けをします。

(i) $0 < a \le 2$ のとき、最小値は $x = a$ のとき $y = a^2 - 4a + a^2 - 3a + 4 = 2a^2 - 7a + 4$ となります。このとき最大値は $x=0$ のとき $y= a^2 - 3a + 4$となります。

$M-m=1$ より、

$a^2 - 3a + 4 - (2a^2 - 7a + 4) = 1$

$-a^2 + 4a = 1$

$a^2 - 4a + 1 = 0$

$a = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$

$0 < a \le 2$ なので、$a = 2 - \sqrt{3}$

(ii) $a > 2$ のとき、最小値は $x = 2$ のとき $y = a^2 - 3a$ となります。このとき最大値は $x=0$ または $x=a$ となります。$x=0$のとき$y= a^2 - 3a + 4$、$x=a$のとき$y= a^2 - 4a + a^2 - 3a + 4=2a^2-7a+4$

ここで、$f(x)=2x^2-7x+4 - (x^2-3x+4) = x^2-4x = x(x-4)$なので、$0<x<4$では、$x^2-3x+4>2x^2-7x+4$

$M-m=1$ より、$M=a^2-3a+4$

$a^2 - 3a + 4 - (a^2 - 3a) = 1$

$4=1$となり矛盾する

したがって、$a = 2 - \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) $(2, a^2 - 3a)$

(2) $4$

(3) $a = 2 - \sqrt{3}$