次の4つの2次式を平方完成してください。 (1) $2x^2 - 8x - 3$ (2) $3x^2 + 9x + 4$ (3) $-2x^2 + 4x + 3$ (4) $-2x^2 - 6x + 1$

はい、承知いたしました。与えられた2次式を平方完成させます。

1. 問題の内容

次の4つの2次式を平方完成してください。

(1) $2x^2 - 8x - 3$

(2) $3x^2 + 9x + 4$

(3) $-2x^2 + 4x + 3$

(4) $-2x^2 - 6x + 1$

2. 解き方の手順

平方完成は、2次式を $a(x-h)^2 + k$ の形に変形することです。

(1) $2x^2 - 8x - 3$

まず、$x^2$の係数でくくります。

$2(x^2 - 4x) - 3$

次に、$x$の係数の半分を2乗したものを足して引きます。$x$の係数は-4なので、その半分は-2、その2乗は4です。

$2(x^2 - 4x + 4 - 4) - 3$

$2((x - 2)^2 - 4) - 3$

$2(x - 2)^2 - 8 - 3$

$2(x - 2)^2 - 11$

(2) $3x^2 + 9x + 4$

まず、$x^2$の係数でくくります。

$3(x^2 + 3x) + 4$

次に、$x$の係数の半分を2乗したものを足して引きます。$x$の係数は3なので、その半分は$\frac{3}{2}$、その2乗は$\frac{9}{4}$です。

$3(x^2 + 3x + \frac{9}{4} - \frac{9}{4}) + 4$

$3((x + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4}) + 4$

$3(x + \frac{3}{2})^2 - \frac{27}{4} + 4$

$3(x + \frac{3}{2})^2 - \frac{27}{4} + \frac{16}{4}$

$3(x + \frac{3}{2})^2 - \frac{11}{4}$

(3) $-2x^2 + 4x + 3$

まず、$x^2$の係数でくくります。

$-2(x^2 - 2x) + 3$

次に、$x$の係数の半分を2乗したものを足して引きます。$x$の係数は-2なので、その半分は-1、その2乗は1です。

$-2(x^2 - 2x + 1 - 1) + 3$

$-2((x - 1)^2 - 1) + 3$

$-2(x - 1)^2 + 2 + 3$

$-2(x - 1)^2 + 5$

(4) $-2x^2 - 6x + 1$

まず、$x^2$の係数でくくります。

$-2(x^2 + 3x) + 1$

次に、$x$の係数の半分を2乗したものを足して引きます。$x$の係数は3なので、その半分は$\frac{3}{2}$、その2乗は$\frac{9}{4}$です。

$-2(x^2 + 3x + \frac{9}{4} - \frac{9}{4}) + 1$

$-2((x + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4}) + 1$

$-2(x + \frac{3}{2})^2 + \frac{9}{2} + 1$

$-2(x + \frac{3}{2})^2 + \frac{9}{2} + \frac{2}{2}$

$-2(x + \frac{3}{2})^2 + \frac{11}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $2(x - 2)^2 - 11$

(2) $3(x + \frac{3}{2})^2 - \frac{11}{4}$

(3) $-2(x - 1)^2 + 5$

(4) $-2(x + \frac{3}{2})^2 + \frac{11}{2}$