関数 $y = ax + b$ ($-3 \le x \le 4$) の最大値が6、最小値が-2であるとき、定数 $a, b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = ax + b$ ($-3 \le x \le 4$) の最大値が6、最小値が-2であるとき、定数 $a, b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$y = ax + b$ は一次関数なので、$a$ の符号によって増加関数か減少関数かが決まります。

(i) $a > 0$ の場合：

$x$ が増加すると $y$ も増加します。

よって、$x = -3$ のとき最小値 $y = -2$ をとり、$x = 4$ のとき最大値 $y = 6$ をとります。

したがって、

$-3a + b = -2$

$4a + b = 6$

この連立方程式を解きます。

下の式から上の式を引くと、

$7a = 8$

$a = \frac{8}{7}$

これを $4a + b = 6$ に代入すると、

$4 \times \frac{8}{7} + b = 6$

$\frac{32}{7} + b = 6$

$b = 6 - \frac{32}{7} = \frac{42 - 32}{7} = \frac{10}{7}$

よって、$a = \frac{8}{7}, b = \frac{10}{7}$

(ii) $a < 0$ の場合：

$x$ が増加すると $y$ は減少します。

よって、$x = -3$ のとき最大値 $y = 6$ をとり、$x = 4$ のとき最小値 $y = -2$ をとります。

したがって、

$-3a + b = 6$

$4a + b = -2$

この連立方程式を解きます。

下の式から上の式を引くと、

$7a = -8$

$a = -\frac{8}{7}$

これを $4a + b = -2$ に代入すると、

$4 \times (-\frac{8}{7}) + b = -2$

$-\frac{32}{7} + b = -2$

$b = -2 + \frac{32}{7} = \frac{-14 + 32}{7} = \frac{18}{7}$

よって、$a = -\frac{8}{7}, b = \frac{18}{7}$

(iii) $a = 0$ の場合：

$y = b$ となり、これは定数関数です。したがって、最大値と最小値が異なるという条件を満たしません。

3. 最終的な答え

$a = \frac{8}{7}, b = \frac{10}{7}$

または

$a = -\frac{8}{7}, b = \frac{18}{7}$