2次関数 $f(x) = ax^2 - 2ax + 2 - 3a$ が与えられている。ここで、$a$ は正の定数である。 (1) $a = 1$ のとき、$y = f(x)$ のグラフの頂点の座標を求める。 (2) $f(x)$ の最小値が $-6$ のとき、$a$ の値を求める。 (3) $t$ は正の定数とする。(2) で求めた $a$ の値を用いて、$f(x)$ の $-1 \le x \le t$ における最大値を $M$ とし、2次関数 $g(x) = -x^2 - 2x + t^2$ の $-1 \le x \le t$ における最大値を $N$ とする。$N - M = 5$ となるような $t$ の値を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $f(x) = ax^2 - 2ax + 2 - 3a$ が与えられている。ここで、$a$ は正の定数である。

(1) $a = 1$ のとき、$y = f(x)$ のグラフの頂点の座標を求める。

(2) $f(x)$ の最小値が $-6$ のとき、$a$ の値を求める。

(3) $t$ は正の定数とする。(2) で求めた $a$ の値を用いて、$f(x)$ の $-1 \le x \le t$ における最大値を $M$ とし、2次関数 $g(x) = -x^2 - 2x + t^2$ の $-1 \le x \le t$ における最大値を $N$ とする。$N - M = 5$ となるような $t$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $a = 1$ のとき、$f(x) = x^2 - 2x + 2 - 3 = x^2 - 2x - 1$ となる。平方完成して頂点の座標を求める。

$f(x) = (x - 1)^2 - 1 - 1 = (x - 1)^2 - 2$

よって、頂点の座標は $(1, -2)$ である。

(2) $f(x) = ax^2 - 2ax + 2 - 3a$ を平方完成する。

$f(x) = a(x^2 - 2x) + 2 - 3a = a(x - 1)^2 - a + 2 - 3a = a(x - 1)^2 - 4a + 2$

最小値は $-4a + 2$ で、これが $-6$ に等しいので、$-4a + 2 = -6$ より、$-4a = -8$ となり、$a = 2$ である。

(3) $a = 2$ のとき、$f(x) = 2x^2 - 4x + 2 - 6 = 2x^2 - 4x - 4 = 2(x - 1)^2 - 6$ である。

$-1 \le x \le t$ における $f(x)$ の最大値を $M$ とする。軸は $x = 1$ である。

* $-1 \le t < 1$ のとき、最大値は $x = -1$ のときで、

$M = f(-1) = 2(-1)^2 - 4(-1) - 4 = 2 + 4 - 4 = 2$

* $1 \le t$ のとき、最大値は $x = t$ のときで、

$M = f(t) = 2t^2 - 4t - 4$

$g(x) = -x^2 - 2x + t^2 = -(x + 1)^2 + 1 + t^2$ である。

$-1 \le x \le t$ における $g(x)$ の最大値を $N$ とする。軸は $x = -1$ である。

* $-1 \le t$ なので、$x = -1$ で最大値をとる。

$N = g(-1) = -(-1)^2 - 2(-1) + t^2 = -1 + 2 + t^2 = t^2 + 1$

$N - M = 5$ より、

* $-1 \le t < 1$ のとき、$t^2 + 1 - 2 = 5$ となり、$t^2 = 6$ より $t = \pm \sqrt{6}$ となるが、$-1 \le t < 1$ を満たさないので不適。

* $1 \le t$ のとき、$t^2 + 1 - (2t^2 - 4t - 4) = 5$ となり、$-t^2 + 4t + 5 = 5$ より、$-t^2 + 4t = 0$ となり、$t(-t + 4) = 0$ となる。$t = 0$ または $t = 4$ である。$1 \le t$ より、$t = 4$ である。

3. 最終的な答え

(1) $(1, -2)$

(2) $a = 2$

(3) $t = 4$