与えられた二次式を因数分解する問題です。具体的には、以下の問題について、因数分解を求めます。 (4) $2x^2 + 7x + 3 = (x \quad )(2x \quad )$ (5) $2x^2 + 5x + 3 =$ (6) $2x^2 - 5x + 3 = (x - 1)(2x \quad )$ (7) $2x^2 + x - 3 =$ (8) $2x^2 - x - 3 =$ (9) $2x^2 - 5x - 3 =$ (10) $2x^2 - 7x + 3 =$

1. 問題の内容

与えられた二次式を因数分解する問題です。具体的には、以下の問題について、因数分解を求めます。

(4) $2x^2 + 7x + 3 = (x \quad )(2x \quad )$

(5) $2x^2 + 5x + 3 =$

(6) $2x^2 - 5x + 3 = (x - 1)(2x \quad )$

(7) $2x^2 + x - 3 =$

(8) $2x^2 - x - 3 =$

(9) $2x^2 - 5x - 3 =$

(10) $2x^2 - 7x + 3 =$

2. 解き方の手順

(4) $2x^2 + 7x + 3 = (x + a)(2x + b)$ とおきます。展開すると $2x^2 + (2a+b)x + ab$ となります。

係数を比較して $2a + b = 7$, $ab = 3$ を満たす $a, b$ を探します。$ab = 3$ より、$(a, b) = (1, 3)$ または $(3, 1)$ が考えられます。

$(a, b) = (1, 3)$ のとき $2a + b = 2(1) + 3 = 5 \neq 7$

$(a, b) = (3, 1)$ のとき $2a + b = 2(3) + 1 = 7$

したがって、$(a, b) = (3, 1)$ なので、$2x^2 + 7x + 3 = (x + 3)(2x + 1)$

(5) $2x^2 + 5x + 3 = (2x + a)(x + b)$ とおきます。展開すると $2x^2 + (a + 2b)x + ab$ となります。

係数を比較して $a + 2b = 5$, $ab = 3$ を満たす $a, b$ を探します。$ab = 3$ より、$(a, b) = (1, 3)$ または $(3, 1)$ が考えられます。

$(a, b) = (1, 3)$ のとき $a + 2b = 1 + 2(3) = 7 \neq 5$

$(a, b) = (3, 1)$ のとき $a + 2b = 3 + 2(1) = 5$

したがって、$(a, b) = (3, 1)$ なので、$2x^2 + 5x + 3 = (2x + 3)(x + 1)$

(6) $2x^2 - 5x + 3 = (x - 1)(2x + a)$ とおきます。展開すると $2x^2 + (a - 2)x - a$ となります。

係数を比較して $a - 2 = -5$, $-a = 3$ を満たす $a$ を探します。$-a=3$より $a = -3$。$a-2 = -3 - 2 = -5$なので正しいです。

したがって、$2x^2 - 5x + 3 = (x - 1)(2x - 3)$

(7) $2x^2 + x - 3 = (2x + a)(x + b)$ とおきます。展開すると $2x^2 + (a + 2b)x + ab$ となります。

係数を比較して $a + 2b = 1$, $ab = -3$ を満たす $a, b$ を探します。$ab = -3$ より、$(a, b) = (1, -3), (-1, 3), (3, -1), (-3, 1)$ が考えられます。

$(a, b) = (1, -3)$ のとき $a + 2b = 1 + 2(-3) = -5 \neq 1$

$(a, b) = (-1, 3)$ のとき $a + 2b = -1 + 2(3) = 5 \neq 1$

$(a, b) = (3, -1)$ のとき $a + 2b = 3 + 2(-1) = 1$

したがって、$(a, b) = (3, -1)$ なので、$2x^2 + x - 3 = (2x + 3)(x - 1)$

(8) $2x^2 - x - 3 = (2x + a)(x + b)$ とおきます。展開すると $2x^2 + (a + 2b)x + ab$ となります。

係数を比較して $a + 2b = -1$, $ab = -3$ を満たす $a, b$ を探します。$ab = -3$ より、$(a, b) = (1, -3), (-1, 3), (3, -1), (-3, 1)$ が考えられます。

$(a, b) = (1, -3)$ のとき $a + 2b = 1 + 2(-3) = -5 \neq -1$

$(a, b) = (-1, 3)$ のとき $a + 2b = -1 + 2(3) = 5 \neq -1$

$(a, b) = (3, -1)$ のとき $a + 2b = 3 + 2(-1) = 1 \neq -1$

$(a, b) = (-3, 1)$ のとき $a + 2b = -3 + 2(1) = -1$

したがって、$(a, b) = (-3, 1)$ なので、$2x^2 - x - 3 = (2x - 3)(x + 1)$

(9) $2x^2 - 5x - 3 = (2x + a)(x + b)$ とおきます。展開すると $2x^2 + (a + 2b)x + ab$ となります。

係数を比較して $a + 2b = -5$, $ab = -3$ を満たす $a, b$ を探します。$ab = -3$ より、$(a, b) = (1, -3), (-1, 3), (3, -1), (-3, 1)$ が考えられます。

$(a, b) = (1, -3)$ のとき $a + 2b = 1 + 2(-3) = -5$

したがって、$(a, b) = (1, -3)$ なので、$2x^2 - 5x - 3 = (2x + 1)(x - 3)$

(10) $2x^2 - 7x + 3 = (2x + a)(x + b)$ とおきます。展開すると $2x^2 + (a + 2b)x + ab$ となります。

係数を比較して $a + 2b = -7$, $ab = 3$ を満たす $a, b$ を探します。$ab = 3$ より、$(a, b) = (1, 3), (3, 1), (-1, -3), (-3, -1)$ が考えられます。

$(a, b) = (1, 3)$ のとき $a + 2b = 1 + 2(3) = 7 \neq -7$

$(a, b) = (3, 1)$ のとき $a + 2b = 3 + 2(1) = 5 \neq -7$

$(a, b) = (-1, -3)$ のとき $a + 2b = -1 + 2(-3) = -7$

したがって、$(a, b) = (-1, -3)$ なので、$2x^2 - 7x + 3 = (2x - 1)(x - 3)$

3. 最終的な答え

(4) $(x + 3)(2x + 1)$

(5) $(2x + 3)(x + 1)$

(6) $(x - 1)(2x - 3)$

(7) $(2x + 3)(x - 1)$

(8) $(2x - 3)(x + 1)$

(9) $(2x + 1)(x - 3)$

(10) $(2x - 1)(x - 3)$