与えられた行列の階数（ランク）を求めます。行列は以下の通りです。 $ \begin{pmatrix} 2 & 1 & -9 & -5 \\ 2 & 1 & 0 & -2 \\ 4 & 2 & 21 & 3 \end{pmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた行列の階数（ランク）を求めます。行列は以下の通りです。

$$

\begin{pmatrix}

2 & 1 & -9 & -5 \\

2 & 1 & 0 & -2 \\

4 & 2 & 21 & 3

\end{pmatrix}

$$

2. 解き方の手順

行列の階数は、行基本変形を行って階段行列にしたときの、0でない行の数に等しいです。

まず、行列を書き出します。

$$

\begin{pmatrix}

2 & 1 & -9 & -5 \\

2 & 1 & 0 & -2 \\

4 & 2 & 21 & 3

\end{pmatrix}

$$

1行目を基準にして、2行目、3行目を簡約化します。

2行目から1行目を引きます。

$$

\begin{pmatrix}

2 & 1 & -9 & -5 \\

0 & 0 & 9 & 3 \\

4 & 2 & 21 & 3

\end{pmatrix}

$$

3行目から1行目の2倍を引きます。

$$

\begin{pmatrix}

2 & 1 & -9 & -5 \\

0 & 0 & 9 & 3 \\

0 & 0 & 39 & 13

\end{pmatrix}

$$

2行目を基準にして、3行目を簡約化します。

3行目から2行目の$\frac{13}{3}$倍を引きます。

$$

\begin{pmatrix}

2 & 1 & -9 & -5 \\

0 & 0 & 9 & 3 \\

0 & 0 & 0 & 0

\end{pmatrix}

$$

これ以上簡約化できません。0でない行は2行なので、階数は2です。

3. 最終的な答え

2