2つの2次関数 $y = 2x^2 + 6x + 7$ (①) と $y = 2x^2 - 4x + 1$ (②) が与えられています。関数①のグラフは、関数②のグラフをどのように平行移動したものか答えます。

## 28 (1) の問題

1. 問題の内容

2つの2次関数 $y = 2x^2 + 6x + 7$ (①) と $y = 2x^2 - 4x + 1$ (②) が与えられています。関数①のグラフは、関数②のグラフをどのように平行移動したものか答えます。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの2次関数を平方完成します。

関数①について:

$y = 2x^2 + 6x + 7 = 2(x^2 + 3x) + 7 = 2(x^2 + 3x + (3/2)^2) - 2(3/2)^2 + 7 = 2(x + 3/2)^2 - 9/2 + 7 = 2(x + 3/2)^2 + 5/2$

関数②について:

$y = 2x^2 - 4x + 1 = 2(x^2 - 2x) + 1 = 2(x^2 - 2x + 1) - 2 + 1 = 2(x - 1)^2 - 1$

それぞれの頂点の座標は、①が $(-3/2, 5/2)$、②が $(1, -1)$ です。

$x$軸方向の移動量は、$-3/2 - 1 = -5/2$

$y$軸方向の移動量は、$5/2 - (-1) = 7/2$

したがって、関数①のグラフは、関数②のグラフを$x$軸方向に $-5/2$、$y$軸方向に $7/2$ 平行移動したものです。

3. 最終的な答え

$x$軸方向に $-5/2$、$y$軸方向に $7/2$ 平行移動

## 28 (2) の問題

1. 問題の内容

放物線 $C$ を $x$ 軸方向に1、$y$ 軸方向に-2だけ平行移動すると、放物線 $C_1: y = 2x^2 + 8x + 9$ に移ります。放物線 $C$ の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

放物線 $C_1$ の方程式 $y = 2x^2 + 8x + 9$ を平方完成します。

$y = 2x^2 + 8x + 9 = 2(x^2 + 4x) + 9 = 2(x^2 + 4x + 4) - 8 + 9 = 2(x + 2)^2 + 1$

放物線 $C_1$ の頂点の座標は $(-2, 1)$ です。

放物線 $C$ を $x$ 軸方向に1、$y$ 軸方向に-2だけ平行移動すると放物線 $C_1$ になるので、放物線 $C$ の頂点の座標は $(-2 - 1, 1 - (-2)) = (-3, 3)$ です。

放物線 $C$ は $y = 2x^2$ のグラフを平行移動したものなので、$x^2$ の係数は2です。

したがって、放物線 $C$ の方程式は $y = 2(x + 3)^2 + 3 = 2(x^2 + 6x + 9) + 3 = 2x^2 + 12x + 18 + 3 = 2x^2 + 12x + 21$

3. 最終的な答え

$y = 2x^2 + 12x + 21$

## 29 の問題

1. 問題の内容

2次関数 $y = 2x^2 - 5x + 4$ のグラフを (1) $x$軸 (2) $y$軸 (3) 原点 それぞれに関して対称移動した曲線をグラフにもつ2次関数を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $x$軸に関して対称移動

$x$軸に関して対称移動すると、$y$ の符号が変わります。よって、 $-y = 2x^2 - 5x + 4$ となり、$y = -2x^2 + 5x - 4$

(2) $y$軸に関して対称移動

$y$軸に関して対称移動すると、$x$ の符号が変わります。よって、$y = 2(-x)^2 - 5(-x) + 4$ となり、$y = 2x^2 + 5x + 4$

(3) 原点に関して対称移動

原点に関して対称移動すると、$x$ と $y$ の符号が変わります。よって、 $-y = 2(-x)^2 - 5(-x) + 4$ となり、$-y = 2x^2 + 5x + 4$ より $y = -2x^2 - 5x - 4$

3. 最終的な答え

(1) $x$軸に関して対称移動: $y = -2x^2 + 5x - 4$

(2) $y$軸に関して対称移動: $y = 2x^2 + 5x + 4$

(3) 原点に関して対称移動: $y = -2x^2 - 5x - 4$

## 30 の問題

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 + ax + b$ を原点に関して対称移動し、さらに $x$軸方向に-1、$y$軸方向に8だけ平行移動すると、放物線 $y = -x^2 + 5x + 11$ が得られます。このとき、定数 $a$, $b$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、放物線 $y = x^2 + ax + b$ を原点に関して対称移動します。すると、$-y = (-x)^2 + a(-x) + b$ となり、$y = -x^2 + ax - b$ となります。

次に、$x$軸方向に-1、$y$軸方向に8だけ平行移動します。すると、$y - 8 = -(x + 1)^2 + a(x + 1) - b$ となり、$y = -(x^2 + 2x + 1) + ax + a - b + 8 = -x^2 - 2x - 1 + ax + a - b + 8 = -x^2 + (a - 2)x + a - b + 7$ となります。

これが $y = -x^2 + 5x + 11$ と一致するので、係数を比較します。

$a - 2 = 5$ より、$a = 7$

$a - b + 7 = 11$ より、$7 - b + 7 = 11$ なので、$14 - b = 11$ より $b = 3$

3. 最終的な答え

$a = 7$, $b = 3$