次の6つの式を因数分解する問題です。 (1) $(a-b)^2 - c^2$ (2) $25x^2 - 4a^2 + 4a - 1$ (3) $(a+b)^2 - 6(a+b) + 5$ (4) $(x+2)^2 - 6(x+2) - 16$ (5) $x^4 + 3x^2 + 2$ (6) $x^4 + 5x^2 - 6$

はい、承知いたしました。与えられた問題を解いていきます。

1. 問題の内容

次の6つの式を因数分解する問題です。

(1) $(a-b)^2 - c^2$

(2) $25x^2 - 4a^2 + 4a - 1$

(3) $(a+b)^2 - 6(a+b) + 5$

(4) $(x+2)^2 - 6(x+2) - 16$

(5) $x^4 + 3x^2 + 2$

(6) $x^4 + 5x^2 - 6$

2. 解き方の手順

各問題ごとに手順を説明します。

(1) $(a-b)^2 - c^2$

これは二乗の差の形なので、$A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$ を利用します。

$A = (a-b)$、 $B = c$ とすると、

$(a-b)^2 - c^2 = (a-b+c)(a-b-c)$

(2) $25x^2 - 4a^2 + 4a - 1$

後ろの3項を $-(4a^2 - 4a + 1)$ とすると、これは $-(2a-1)^2$ となります。

したがって、$25x^2 - (2a-1)^2$ となり、再び二乗の差の形です。

$A = 5x$、$B = (2a-1)$ とすると、

$25x^2 - (2a-1)^2 = (5x + (2a-1))(5x - (2a-1)) = (5x + 2a - 1)(5x - 2a + 1)$

(3) $(a+b)^2 - 6(a+b) + 5$

$a+b = X$ とおくと、$X^2 - 6X + 5$ となります。

これを因数分解すると、$(X-1)(X-5)$ となります。

$X$ を元に戻すと、$(a+b-1)(a+b-5)$

(4) $(x+2)^2 - 6(x+2) - 16$

$x+2 = X$ とおくと、$X^2 - 6X - 16$ となります。

これを因数分解すると、$(X-8)(X+2)$ となります。

$X$ を元に戻すと、$(x+2-8)(x+2+2) = (x-6)(x+4)$

(5) $x^4 + 3x^2 + 2$

$x^2 = X$ とおくと、$X^2 + 3X + 2$ となります。

これを因数分解すると、$(X+1)(X+2)$ となります。

$X$ を元に戻すと、$(x^2+1)(x^2+2)$

(6) $x^4 + 5x^2 - 6$

$x^2 = X$ とおくと、$X^2 + 5X - 6$ となります。

これを因数分解すると、$(X+6)(X-1)$ となります。

$X$ を元に戻すと、$(x^2+6)(x^2-1)$ となります。

さらに、$x^2 - 1$ は $(x+1)(x-1)$ と因数分解できるので、

$(x^2+6)(x+1)(x-1)$

3. 最終的な答え

(1) $(a-b+c)(a-b-c)$

(2) $(5x + 2a - 1)(5x - 2a + 1)$

(3) $(a+b-1)(a+b-5)$

(4) $(x-6)(x+4)$

(5) $(x^2+1)(x^2+2)$

(6) $(x^2+6)(x+1)(x-1)$