与えられた4x4行列の行列式の値を計算する問題です。行列 $A$ は次のように与えられています。 $A = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 1 & 4 \\ 2 & 1 & 3 & 5 \\ 6 & 2 & 3 & 7 \\ 3 & 0 & 9 & 5 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた4x4行列の行列式の値を計算する問題です。行列 $A$ は次のように与えられています。

$A = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 1 & 4 \\ 2 & 1 & 3 & 5 \\ 6 & 2 & 3 & 7 \\ 3 & 0 & 9 & 5 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

行列式を計算するために、いくつかの行基本変形を行い、計算を簡略化します。

ステップ1: 第1行を-2倍して第2行に足し、第1行を-6倍して第3行に足し、第1行を-3倍して第4行に足します。これにより、第1列の最初の要素以外はすべて0になります。

$\begin{pmatrix} 1 & 4 & 1 & 4 \\ 0 & -7 & 1 & -3 \\ 0 & -22 & -3 & -17 \\ 0 & -12 & 6 & -7 \end{pmatrix}$

ステップ2: 行列式は行基本変形（行を定数倍して別の行に足す）によって変化しないので、この行列の行列式は元の行列$A$の行列式と同じです。したがって、行列式は、第1列に沿って展開することで計算できます。

$|A| = 1 \cdot \begin{vmatrix} -7 & 1 & -3 \\ -22 & -3 & -17 \\ -12 & 6 & -7 \end{vmatrix}$

ステップ3: 3x3行列の行列式を計算します。

$\begin{vmatrix} -7 & 1 & -3 \\ -22 & -3 & -17 \\ -12 & 6 & -7 \end{vmatrix} = -7((-3) \cdot (-7) - (-17) \cdot 6) - 1((-22) \cdot (-7) - (-17) \cdot (-12)) + (-3)((-22) \cdot 6 - (-3) \cdot (-12)) = -7(21 + 102) - (154 - 204) - 3(-132 - 36) = -7(123) - (-50) - 3(-168) = -861 + 50 + 504 = -307$

3. 最終的な答え

$|A| = -307$