$A, B, C$ が $n$ 次正方行列のとき、行列 $\begin{pmatrix} A & B \\ C & O \end{pmatrix}$ の行列式を求める問題です。ただし、$O$ は $n$ 次の零行列です。

代数学行列式線形代数ブロック行列正方行列
2025/7/27

1. 問題の内容

A,B,CA, B, Cnn 次正方行列のとき、行列 (ABCO)\begin{pmatrix} A & B \\ C & O \end{pmatrix} の行列式を求める問題です。ただし、OOnn 次の零行列です。

2. 解き方の手順

行列式を求める際に、行列の性質を利用します。行列式は、行列の行または列に関して線形性を持つため、行または列の操作によって簡略化できます。
行列 (ABCO)\begin{pmatrix} A & B \\ C & O \end{pmatrix} に対して、AA が正則行列であると仮定します。このとき、次のような行基本変形を考えます。下側の行に CA1CA^{-1} を左から掛け、上側の行から引きます。
(ABCO)R2R2CA1R1(ABCCA1AOCA1B)=(ABOCA1B)\begin{pmatrix} A & B \\ C & O \end{pmatrix} \xrightarrow{R_2 \to R_2 - CA^{-1}R_1} \begin{pmatrix} A & B \\ C - CA^{-1}A & O - CA^{-1}B \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A & B \\ O & -CA^{-1}B \end{pmatrix}
この操作によって、行列式は変化しません。したがって、
det(ABCO)=det(ABOCA1B)\det\begin{pmatrix} A & B \\ C & O \end{pmatrix} = \det\begin{pmatrix} A & B \\ O & -CA^{-1}B \end{pmatrix}
ブロック行列の行列式の性質より、
det(ABOCA1B)=det(A)det(CA1B)=det(A)(1)ndet(CA1B)=(1)ndet(A)det(C)det(A1)det(B)\det\begin{pmatrix} A & B \\ O & -CA^{-1}B \end{pmatrix} = \det(A) \det(-CA^{-1}B) = \det(A) (-1)^n \det(CA^{-1}B) = (-1)^n \det(A) \det(C) \det(A^{-1}) \det(B)
det(A)det(A1)=det(AA1)=det(I)=1\det(A) \det(A^{-1}) = \det(AA^{-1}) = \det(I) = 1 であるため、
det(ABCO)=(1)ndet(C)det(B)=(1)ndet(B)det(C)\det\begin{pmatrix} A & B \\ C & O \end{pmatrix} = (-1)^n \det(C) \det(B) = (-1)^n \det(B) \det(C)
AA が正則でない場合を考えます。その場合、A+λIA + \lambda I が正則となるような λ\lambda が存在します。そこで、AAA+λIA + \lambda I に置き換えて計算を行い、最後に λ0\lambda \to 0 とすれば同様の結果が得られます。

3. 最終的な答え

det(ABCO)=(1)ndet(B)det(C)\det\begin{pmatrix} A & B \\ C & O \end{pmatrix} = (-1)^n \det(B) \det(C)

「代数学」の関連問題

初項が4、公差が-3である等差数列$\{a_n\}$において、第$m$項が-14であるとき、$m$の値を求める。

等差数列数列一般項一次方程式
2025/7/28

初項が5、公差が6である等差数列 $\{a_n\}$ において、第 $m$ 項が47であるとき、$m$ の値を求める問題です。

等差数列数列一般項方程式
2025/7/28

与えられた4つの行列式の値を計算する問題です。 (1)は4x4行列、(2)も4x4行列、(3)も4x4行列、(4)も4x4行列です。

行列式ヴァンデルモンドの行列式余因子展開行基本変形
2025/7/28

以下の3つの行列について、それぞれ固有ベクトル、固有値、固有空間を求めます。 1. $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$

固有値固有ベクトル固有空間線形代数行列
2025/7/28

(1) $3x^2y^3 - 6xy = \boxed{}xy(xy^2 - \boxed{})$の空欄を埋める問題。 (2) $x^2 - 3x - 4 = (x + \boxed{})(x - \...

因数分解多項式
2025/7/28

問題は、多項式の引き算を行うことです。具体的には、$(x^2 + 2x - 1) - (x^2 + x + 3)$ を計算します。

多項式計算代数
2025/7/28

与えられた3x3行列の行列式を計算する問題です。行列は以下の通りです。 $\begin{vmatrix} 1 & a & a^2 \\ a & 1 & a^2 \\ a^2 & a & 1 \end{...

行列式線形代数行列
2025/7/28

行列 $A = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -2 \end{bmatrix}$ を対角化する問題です。

線形代数行列対角化固有値固有ベクトル
2025/7/28

$a, b$ は実数である。次の命題の真偽を調べよ。 (1) $ab = 0$ ならば $a^2 + b^2 = 0$ である。 (2) $a^2 = 4$ ならば $|a + 1| \geq 1$ ...

命題真偽反例実数二次方程式解の公式無理数
2025/7/28

## 問題6.4 の解答

固有値固有ベクトル行列線形代数
2025/7/28