行列 $A = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -2 \end{bmatrix}$ を対角化する問題です。

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -2 \end{bmatrix}$ を対角化する問題です。

2. 解き方の手順

(1) 固有値を求める。

特性方程式 $|A - \lambda I| = 0$ を解く。

$A - \lambda I = \begin{bmatrix} -1-\lambda & 1 \\ 1 & -2-\lambda \end{bmatrix}$

$|A - \lambda I| = (-1-\lambda)(-2-\lambda) - (1)(1) = 0$

$\lambda^2 + 3\lambda + 2 - 1 = 0$

$\lambda^2 + 3\lambda + 1 = 0$

$\lambda = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(1)(1)}}{2(1)} = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$

固有値は $\lambda_1 = \frac{-3 + \sqrt{5}}{2}$, $\lambda_2 = \frac{-3 - \sqrt{5}}{2}$

(2) 固有ベクトルを求める。

各固有値に対して $(A - \lambda I)v = 0$ を満たす固有ベクトル $v$ を求める。

$\lambda_1 = \frac{-3 + \sqrt{5}}{2}$ のとき、

$\begin{bmatrix} -1 - \frac{-3 + \sqrt{5}}{2} & 1 \\ 1 & -2 - \frac{-3 + \sqrt{5}}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} \frac{1 - \sqrt{5}}{2} & 1 \\ 1 & \frac{-1 - \sqrt{5}}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

$\frac{1 - \sqrt{5}}{2}x + y = 0$

$x + \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}y = 0$

$y = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}x$

$x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}y$

$v_1 = \begin{bmatrix} 2 \\ \sqrt{5} - 1 \end{bmatrix}$ とできる。

$\lambda_2 = \frac{-3 - \sqrt{5}}{2}$ のとき、

$\begin{bmatrix} -1 - \frac{-3 - \sqrt{5}}{2} & 1 \\ 1 & -2 - \frac{-3 - \sqrt{5}}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} \frac{1 + \sqrt{5}}{2} & 1 \\ 1 & \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

$\frac{1 + \sqrt{5}}{2}x + y = 0$

$x + \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}y = 0$

$y = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}x$

$x = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}y$

$v_2 = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 - \sqrt{5} \end{bmatrix}$ とできる。

(3) 対角化する。

$P = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ \sqrt{5} - 1 & -1 - \sqrt{5} \end{bmatrix}$ とすると、

$P^{-1}AP = D = \begin{bmatrix} \frac{-3 + \sqrt{5}}{2} & 0 \\ 0 & \frac{-3 - \sqrt{5}}{2} \end{bmatrix}$ となる。

3. 最終的な答え

$P = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ \sqrt{5} - 1 & -1 - \sqrt{5} \end{bmatrix}$, $D = \begin{bmatrix} \frac{-3 + \sqrt{5}}{2} & 0 \\ 0 & \frac{-3 - \sqrt{5}}{2} \end{bmatrix}$