以下の3つの行列について、それぞれ固有ベクトル、固有値、固有空間を求めます。 1. $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$

はい、承知いたしました。与えられた行列に対して、固有ベクトル、固有値、固有空間を求めます。

1. 問題の内容

以下の3つの行列について、それぞれ固有ベクトル、固有値、固有空間を求めます。

1. $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$

2. $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 4 \end{bmatrix}$

3. $A = \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 7 \end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

各行列に対して、以下の手順で固有ベクトル、固有値、固有空間を求めます。

(1) 固有方程式を立て、固有値を求める。固有方程式は、$det(A - \lambda I) = 0$ で与えられます。ここで、$A$ は与えられた行列、$\lambda$ は固有値、$I$ は単位行列です。

(2) 求めた固有値 $\lambda$ を用いて、$(A - \lambda I)v = 0$ を満たす固有ベクトル $v$ を求める。

(3) 各固有値に対応する固有ベクトルが張る空間が固有空間となります。

**行列1:** $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$

(1) 固有方程式:

$det(A - \lambda I) = det\begin{bmatrix} 2-\lambda & 1 \\ 1 & 2-\lambda \end{bmatrix} = (2-\lambda)^2 - 1 = \lambda^2 - 4\lambda + 3 = (\lambda - 1)(\lambda - 3) = 0$

固有値: $\lambda_1 = 1, \lambda_2 = 3$

(2) 固有ベクトル:

$\lambda_1 = 1$ のとき、 $(A - \lambda_1 I)v = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$. よって $x + y = 0$, $y = -x$. 固有ベクトルは $v_1 = c_1 \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}$ ($c_1$は0でない任意のスカラー)

$\lambda_2 = 3$ のとき、 $(A - \lambda_2 I)v = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$. よって $-x + y = 0$, $y = x$. 固有ベクトルは $v_2 = c_2 \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ ($c_2$は0でない任意のスカラー)

(3) 固有空間:

$\lambda_1 = 1$ に対する固有空間は、$span\{\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}\}$

$\lambda_2 = 3$ に対する固有空間は、$span\{\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}\}$

**行列2:** $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 4 \end{bmatrix}$

(1) 固有方程式:

$det(A - \lambda I) = det\begin{bmatrix} 1-\lambda & 2 \\ -1 & 4-\lambda \end{bmatrix} = (1-\lambda)(4-\lambda) - (-2) = \lambda^2 - 5\lambda + 6 = (\lambda - 2)(\lambda - 3) = 0$

固有値: $\lambda_1 = 2, \lambda_2 = 3$

(2) 固有ベクトル:

$\lambda_1 = 2$ のとき、 $(A - \lambda_1 I)v = \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$. よって $-x + 2y = 0$, $x = 2y$. 固有ベクトルは $v_1 = c_1 \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}$ ($c_1$は0でない任意のスカラー)

$\lambda_2 = 3$ のとき、 $(A - \lambda_2 I)v = \begin{bmatrix} -2 & 2 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$. よって $-x + y = 0$, $y = x$. 固有ベクトルは $v_2 = c_2 \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ ($c_2$は0でない任意のスカラー)

(3) 固有空間:

$\lambda_1 = 2$ に対する固有空間は、$span\{\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}\}$

$\lambda_2 = 3$ に対する固有空間は、$span\{\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}\}$

**行列3:** $A = \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 7 \end{bmatrix}$

(1) 固有方程式:

$det(A - \lambda I) = det\begin{bmatrix} 4-\lambda & 2 \\ 2 & 7-\lambda \end{bmatrix} = (4-\lambda)(7-\lambda) - 4 = \lambda^2 - 11\lambda + 24 = (\lambda-3)(\lambda-8) = 0$

固有値: $\lambda_1 = 3, \lambda_2 = 8$

(2) 固有ベクトル:

$\lambda_1 = 3$ のとき、 $(A - \lambda_1 I)v = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$. よって $x + 2y = 0$, $x = -2y$. 固有ベクトルは $v_1 = c_1 \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \end{bmatrix}$ ($c_1$は0でない任意のスカラー)

$\lambda_2 = 8$ のとき、 $(A - \lambda_2 I)v = \begin{bmatrix} -4 & 2 \\ 2 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$. よって $2x - y = 0$, $y = 2x$. 固有ベクトルは $v_2 = c_2 \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}$ ($c_2$は0でない任意のスカラー)

(3) 固有空間:

$\lambda_1 = 3$ に対する固有空間は、$span\{\begin{bmatrix} -2 \\ 1 \end{bmatrix}\}$

$\lambda_2 = 8$ に対する固有空間は、$span\{\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}\}$

3. 最終的な答え

**行列1:** $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$

固有値: $\lambda_1 = 1, \lambda_2 = 3$

固有ベクトル: $v_1 = c_1 \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}, v_2 = c_2 \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$

固有空間: $span\{\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}\}, span\{\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}\}$

**行列2:** $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 4 \end{bmatrix}$

固有値: $\lambda_1 = 2, \lambda_2 = 3$

固有ベクトル: $v_1 = c_1 \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}, v_2 = c_2 \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$

固有空間: $span\{\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}\}, span\{\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}\}$

**行列3:** $A = \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 7 \end{bmatrix}$

固有値: $\lambda_1 = 3, \lambda_2 = 8$

固有ベクトル: $v_1 = c_1 \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \end{bmatrix}, v_2 = c_2 \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}$

固有空間: $span\{\begin{bmatrix} -2 \\ 1 \end{bmatrix}\}, span\{\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}\}$