$a, b$ は実数である。次の命題の真偽を調べよ。 (1) $ab = 0$ ならば $a^2 + b^2 = 0$ である。 (2) $a^2 = 4$ ならば $|a + 1| \geq 1$ である。 (3) $ab$ が有理数ならば、$a, b$ はともに有理数である。 (4) $a + b, ab$ がともに有理数ならば、$a, b$ はともに有理数である。

代数学命題真偽反例実数二次方程式解の公式無理数
2025/7/28

1. 問題の内容

a,ba, b は実数である。次の命題の真偽を調べよ。
(1) ab=0ab = 0 ならば a2+b2=0a^2 + b^2 = 0 である。
(2) a2=4a^2 = 4 ならば a+11|a + 1| \geq 1 である。
(3) abab が有理数ならば、a,ba, b はともに有理数である。
(4) a+b,aba + b, ab がともに有理数ならば、a,ba, b はともに有理数である。

2. 解き方の手順

(1) 反例を挙げる。a=1,b=0a = 1, b = 0 のとき、ab=0ab = 0 だが、a2+b2=10a^2 + b^2 = 1 \neq 0 である。
したがって、偽である。
(2) a2=4a^2 = 4 より、a=2a = 2 または a=2a = -2 である。
a=2a = 2 のとき、a+1=2+1=31|a + 1| = |2 + 1| = 3 \geq 1 である。
a=2a = -2 のとき、a+1=2+1=1=11|a + 1| = |-2 + 1| = |-1| = 1 \geq 1 である。
したがって、真である。
(3) 反例を挙げる。a=2,b=0a = \sqrt{2}, b = 0 のとき、ab=0ab = 0 は有理数だが、a=2a = \sqrt{2} は無理数である。
a=2,b=2a = \sqrt{2}, b = \sqrt{2}のとき、ab=2ab = 2 は有理数だが、a,ba, b は無理数である。
したがって、偽である。
(4) a+b=s,ab=ta + b = s, ab = t とおく。ただし、s,ts, t は有理数である。
a,ba, b は、x2sx+t=0x^2 - sx + t = 0 の解である。
解の公式より、
x=s±s24t2x = \frac{s \pm \sqrt{s^2 - 4t}}{2}
a,ba, b がともに有理数であるためには、s24ts^2 - 4t が有理数の平方でなければならない。
s24ts^2 - 4t が有理数の平方でない場合、a,ba, b は無理数となる。
反例を挙げる。a+b=2,ab=1a + b = 2, ab = 1 のとき、a=b=1a = b = 1 である。この場合、a,ba, b はともに有理数である。
a+b=2,ab=2a + b = 2, ab = -2 のとき、x22x2=0x^2 - 2x - 2 = 0 の解は x=2±4+82=1±3x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2} = 1 \pm \sqrt{3} である。このとき、a,ba, b はともに無理数である。
したがって、偽である。

3. 最終的な答え

(1) 偽
(2) 真
(3) 偽
(4) 偽

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