$a, b$ は実数である。次の命題の真偽を調べよ。 (1) $ab = 0$ ならば $a^2 + b^2 = 0$ である。 (2) $a^2 = 4$ ならば $|a + 1| \geq 1$ である。 (3) $ab$ が有理数ならば、$a, b$ はともに有理数である。 (4) $a + b, ab$ がともに有理数ならば、$a, b$ はともに有理数である。
2025/7/28
1. 問題の内容
は実数である。次の命題の真偽を調べよ。
(1) ならば である。
(2) ならば である。
(3) が有理数ならば、 はともに有理数である。
(4) がともに有理数ならば、 はともに有理数である。
2. 解き方の手順
(1) 反例を挙げる。 のとき、 だが、 である。
したがって、偽である。
(2) より、 または である。
のとき、 である。
のとき、 である。
したがって、真である。
(3) 反例を挙げる。 のとき、 は有理数だが、 は無理数である。
のとき、 は有理数だが、 は無理数である。
したがって、偽である。
(4) とおく。ただし、 は有理数である。
は、 の解である。
解の公式より、
がともに有理数であるためには、 が有理数の平方でなければならない。
が有理数の平方でない場合、 は無理数となる。
反例を挙げる。 のとき、 である。この場合、 はともに有理数である。
のとき、 の解は である。このとき、 はともに無理数である。
したがって、偽である。
3. 最終的な答え
(1) 偽
(2) 真
(3) 偽
(4) 偽