与えられた3x3行列の行列式を計算する問題です。行列は以下の通りです。 $\begin{vmatrix} 1 & a & a^2 \\ a & 1 & a^2 \\ a^2 & a & 1 \end{vmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた3x3行列の行列式を計算する問題です。行列は以下の通りです。

$\begin{vmatrix} 1 & a & a^2 \\ a & 1 & a^2 \\ a^2 & a & 1 \end{vmatrix}$

2. 解き方の手順

3x3行列の行列式は、次のように計算できます。

$\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)$

この式を、与えられた行列に適用します。

$\begin{vmatrix} 1 & a & a^2 \\ a & 1 & a^2 \\ a^2 & a & 1 \end{vmatrix} = 1(1 - a^4) - a(a - a^4) + a^2(a^2 - a^2)$

$= 1 - a^4 - a^2 + a^5 + a^4 - a^4$

$= 1 - a^2 - a^4 + a^5$

$= a^5 - a^4 - a^2 + 1$

並び替えて整理すると

$= a^5 - a^4 - a^2 + 1$

$=a^4(a-1) -(a^2 -1)$

$=a^4(a-1) -(a-1)(a+1)$

$=(a-1)(a^4 -a -1)$

しかし、元の式をよく見ると計算を簡単にする方法があります。

行1から行2を引き、行1から行3を引くことを考えます。

$\begin{vmatrix} 1 & a & a^2 \\ a & 1 & a^2 \\ a^2 & a & 1 \end{vmatrix}

= \begin{vmatrix} 1-a & a-1 & 0 \\ a-a^2 & 1-a & a^2-1 \\ a^2 & a & 1 \end{vmatrix}

= \begin{vmatrix} 1-a & a-1 & 0 \\ a-a^2 & 1-a & a^2-1 \\ a^2 & a & 1 \end{vmatrix}

$$

$\begin{vmatrix} 1-a^2 & a-a^2 & a^2-1 \\ a-a^2 & 1-a & a^2-1 \\ a^2 & a & 1 \end{vmatrix}

$$

$\begin{vmatrix} 1 & a & a^2 \\ a & 1 & a^2 \\ a^2 & a & 1 \end{vmatrix}$

$=1*(1-a^4) -a*(a-a^4) +a^2*(a^2-a^2)$

$=1-a^4 -a^2 + a^5$

$= (1-a^2) -a^4(1-a)$

$=(1-a)(1+a)- a^4(1-a)$

$=(1-a)(1+a-a^4)$

正攻法で解いていきます。

$\begin{vmatrix} 1 & a & a^2 \\ a & 1 & a^2 \\ a^2 & a & 1 \end{vmatrix} = 1(1 \cdot 1 - a^2 \cdot a^2) - a(a \cdot 1 - a^2 \cdot a^2) + a^2(a \cdot a - 1 \cdot a^2)$

$= 1(1 - a^4) - a(a - a^4) + a^2(a^2 - a^2)$

$= 1 - a^4 - a^2 + a^5 + a^2(0)$

$= 1 - a^4 - a^2 + a^5$

$= a^5 - a^4 - a^2 + 1$

3. 最終的な答え

$a^5 - a^4 - a^2 + 1$