## 問題6.4 の解答

## 問題6.4 の解答

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1. 問題の内容

与えられた3つの行列について、それぞれの固有値と、実数値の固有値に対応する固有ベクトルを求める問題です。

(1) $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & -1 & 0 \\ 2 & 0 & -2 \end{pmatrix}$

(2) $\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 2 \\ 0 & -2 & 0 \end{pmatrix}$

(3) $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

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2. 解き方の手順

各行列について、以下の手順で固有値と固有ベクトルを求めます。

1. **固有方程式を立てる**: 行列 $A$ に対して、固有方程式 $|A - \lambda I| = 0$ を立てます。ここで $\lambda$ は固有値、 $I$ は単位行列です。

2. **固有値を求める**: 固有方程式を解き、固有値 $\lambda$ を求めます。

3. **固有ベクトルを求める**: 各固有値 $\lambda$ に対して、$(A - \lambda I) \mathbf{v} = \mathbf{0}$ を満たす固有ベクトル $\mathbf{v}$ を求めます。

**(1) の解答**

1. **固有方程式**:

$|A - \lambda I| = \begin{vmatrix} 1-\lambda & 0 & 2 \\ 0 & -1-\lambda & 0 \\ 2 & 0 & -2-\lambda \end{vmatrix} = (1-\lambda)(-1-\lambda)(-2-\lambda) - 4(-1-\lambda) = 0$

2. **固有値**:

$(1-\lambda)(-1-\lambda)(-2-\lambda) + 4(1+\lambda) = (1+\lambda)[(1-\lambda)(-2-\lambda) + 4] = (1+\lambda)[\lambda^2 + \lambda + 2] = 0$

よって、$\lambda = -1$ または $\lambda^2 + \lambda + 2 = 0$。

$\lambda^2 + \lambda + 2 = 0$ を解くと、$\lambda = \frac{-1 \pm \sqrt{1-8}}{2} = \frac{-1 \pm i\sqrt{7}}{2}$ (複素数)

実数固有値は $\lambda = -1$ のみ。

3. **固有ベクトル**:

$\lambda = -1$ のとき、 $(A - \lambda I)\mathbf{v} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$2x + 2z = 0$ より $x = -z$。$2x-z = 0$　より　$2(-z)-z=0$なので、$z=0$, $x=0$。

よって、$y$ は任意。固有ベクトルは $\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ の定数倍。

**(2) の解答**

1. **固有方程式**:

$|A - \lambda I| = \begin{vmatrix} -\lambda & 1 & 0 \\ -1 & -\lambda & 2 \\ 0 & -2 & -\lambda \end{vmatrix} = -\lambda(\lambda^2 + 4) + 1(-\lambda) = -\lambda^3 - 4\lambda -\lambda = -\lambda^3 - 5\lambda = 0$

2. **固有値**:

$-\lambda(\lambda^2 + 5) = 0$

$\lambda = 0$ または $\lambda^2 + 5 = 0$。

$\lambda^2 + 5 = 0$ を解くと、$\lambda = \pm i\sqrt{5}$ (複素数)

実数固有値は $\lambda = 0$ のみ。

3. **固有ベクトル**:

$\lambda = 0$ のとき、 $A\mathbf{v} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 2 \\ 0 & -2 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$y = 0$、$-x + 2z = 0$ より $x = 2z$。

よって、固有ベクトルは $\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ の定数倍。

**(3) の解答**

1. **固有方程式**:

$|A - \lambda I| = \begin{vmatrix} 1-\lambda & 0 & 2 \\ 1 & 1-\lambda & 1 \\ 1 & 0 & -\lambda \end{vmatrix} = (1-\lambda)((1-\lambda)(-\lambda) - 0) - 0 + 2(0 - (1-\lambda)) = 0$

2. **固有値**:

$(1-\lambda)[(1-\lambda)(-\lambda) - 2] = (1-\lambda)(\lambda^2-\lambda-2) = (1-\lambda)(\lambda - 2)(\lambda + 1) = 0$

よって、$\lambda = 1, 2, -1$。

3. **固有ベクトル**:

* $\lambda = 1$ のとき、 $\begin{pmatrix} 0 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$2z = 0, x+z = 0, x-z = 0$ より $z = 0, x = 0$。よって、固有ベクトルは $\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ の定数倍。

* $\lambda = 2$ のとき、 $\begin{pmatrix} -1 & 0 & 2 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$-x + 2z = 0, x - y + z = 0, x - 2z = 0$ より $x = 2z, 2z - y + z = 0 \Rightarrow y = 3z$。よって、固有ベクトルは $\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}$ の定数倍。

* $\lambda = -1$ のとき、 $\begin{pmatrix} 2 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$2x + 2z = 0, x + 2y + z = 0, x + z = 0$ より $x = -z, -z + 2y + z = 0 \Rightarrow y = 0$。よって、固有ベクトルは $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$ の定数倍。

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3. 最終的な答え

**(1)**

* 固有値: $\lambda = -1, \frac{-1 \pm i\sqrt{7}}{2}$

* 実数固有値に対する固有ベクトル: $\lambda = -1$ に対する固有ベクトルは $\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ の定数倍。

**(2)**

* 固有値: $\lambda = 0, \pm i\sqrt{5}$

* 実数固有値に対する固有ベクトル: $\lambda = 0$ に対する固有ベクトルは $\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ の定数倍。

**(3)**

* 固有値: $\lambda = 1, 2, -1$

* 実数固有値に対する固有ベクトル:

* $\lambda = 1$ に対する固有ベクトルは $\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ の定数倍。

* $\lambda = 2$ に対する固有ベクトルは $\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}$ の定数倍。

* $\lambda = -1$ に対する固有ベクトルは $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$ の定数倍。