数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が、$S_n = n^2 + 2n$ で表されるとき、一般項 $a_n$ を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が、$S_n = n^2 + 2n$ で表されるとき、一般項 $a_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

$S_n$ を用いて $a_n$ を求める。

$n \geq 2$ のとき、$a_n = S_n - S_{n-1}$ であり、$a_1 = S_1$ である。

* $n \geq 2$ のとき:

$a_n = S_n - S_{n-1} = (n^2 + 2n) - ((n-1)^2 + 2(n-1))$

$a_n = (n^2 + 2n) - (n^2 - 2n + 1 + 2n - 2) = n^2 + 2n - (n^2 + 1 - 2)$

$a_n = n^2 + 2n - n^2 + 1 = 2n + 1$

* $n = 1$ のとき:

$a_1 = S_1 = 1^2 + 2(1) = 1 + 2 = 3$

$n \geq 2$ のときの$a_n$の式に$n = 1$を代入すると、$a_1 = 2(1) + 1 = 3$ となり、これは $a_1 = S_1 = 3$ と一致する。したがって、$a_n = 2n + 1$ はすべての $n$ に対して成り立つ。

3. 最終的な答え

$a_n = 2n + 1$