2次関数 $y = x^2 - 2ax + 3$ の $0 \le x \le 4$ における最大値と最小値を、以下の$a$ の範囲でそれぞれ求める。 (1) $a \le 0$ (2) $0 < a < 2$ (3) $a = 2$ (4) $2 < a < 4$ (5) $4 \le a$

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 - 2ax + 3$ の $0 \le x \le 4$ における最大値と最小値を、以下の$a$ の範囲でそれぞれ求める。

(1) $a \le 0$

(2) $0 < a < 2$

(3) $a = 2$

(4) $2 < a < 4$

(5) $4 \le a$

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成する。

$y = x^2 - 2ax + 3 = (x - a)^2 - a^2 + 3$

この2次関数の軸は $x = a$ であり、下に凸な放物線である。定義域は $0 \le x \le 4$ である。軸 $x=a$ の位置によって、最大値と最小値が変わる。

(1) $a \le 0$ のとき

軸は定義域の左側にある。

最小値は $x=0$ のときで、 $y = 0^2 - 2a(0) + 3 = 3$

最大値は $x=4$ のときで、 $y = 4^2 - 2a(4) + 3 = 16 - 8a + 3 = 19 - 8a$

(2) $0 < a < 2$ のとき

軸は定義域の中にある。

最小値は $x=a$ のときで、 $y = -a^2 + 3$

最大値は $x=4$ のときで、 $y = 19 - 8a$

(3) $a = 2$ のとき

軸は $x=2$ である。

最小値は $x=2$ のときで、 $y = -2^2 + 3 = -1$

最大値は $x=0$ または $x=4$ のとき。

$x=0$ のとき $y = 3$

$x=4$ のとき $y = 19 - 8(2) = 3$

よって最大値は $3$

(4) $2 < a < 4$ のとき

軸は定義域の中にある。

最小値は $x=a$ のときで、 $y = -a^2 + 3$

最大値は $x=0$ のときで、 $y = 3$

(5) $4 \le a$ のとき

軸は定義域の右側にある。

最小値は $x=4$ のときで、 $y = 19 - 8a$

最大値は $x=0$ のときで、 $y = 3$

3. 最終的な答え

(1) $a \le 0$ のとき

最大値：$19 - 8a$

最小値：$3$

(2) $0 < a < 2$ のとき

最大値：$19 - 8a$

最小値：$-a^2 + 3$

(3) $a = 2$ のとき

最大値：$3$

最小値：$-1$

(4) $2 < a < 4$ のとき

最大値：$3$

最小値：$-a^2 + 3$

(5) $4 \le a$ のとき

最大値：$3$

最小値：$19 - 8a$