3次方程式 $2x^3 - 3x^2 - 12x - a = 0$ が異なる3つの実数解を持つような $a$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

3次方程式 $2x^3 - 3x^2 - 12x - a = 0$ が異なる3つの実数解を持つような $a$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた方程式を $f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x$ と $g(x) = a$ に分割します。

$y = f(x)$ のグラフと $y = a$ のグラフが異なる3点で交わるような $a$ の範囲を求めます。

まず、$f(x)$ の極値を求めます。

$f'(x) = 6x^2 - 6x - 12$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$6x^2 - 6x - 12 = 0$

$x^2 - x - 2 = 0$

$(x - 2)(x + 1) = 0$

$x = 2, -1$

$x = 2$ のとき、$f(2) = 2(2)^3 - 3(2)^2 - 12(2) = 16 - 12 - 24 = -20$

$x = -1$ のとき、$f(-1) = 2(-1)^3 - 3(-1)^2 - 12(-1) = -2 - 3 + 12 = 7$

$y = f(x)$ のグラフは、$x = -1$ で極大値 $7$ をとり、$x = 2$ で極小値 $-20$ をとります。

したがって、$y = f(x)$ のグラフと $y = a$ のグラフが異なる3点で交わるためには、$a$ の値は極大値と極小値の間にある必要があります。

$-20 < a < 7$

3. 最終的な答え

$-20 < a < 7$