$2.4^n$ の整数部分が3桁であるような整数 $n$ の個数を求める問題です。ただし、$\log_{10} 2 = 0.3010$、$\log_{10} 3 = 0.4771$ とします。

1. 問題の内容

$2.4^n$ の整数部分が3桁であるような整数 $n$ の個数を求める問題です。ただし、$\log_{10} 2 = 0.3010$、$\log_{10} 3 = 0.4771$ とします。

2. 解き方の手順

$2.4^n$ の整数部分が3桁であるということは、$2.4^n$ が100以上1000未満であるということです。つまり、

$100 \le 2.4^n < 1000$

が成り立ちます。

この不等式の各辺の常用対数をとると、

$\log_{10} 100 \le \log_{10} (2.4^n) < \log_{10} 1000$

$2 \le n \log_{10} 2.4 < 3$

$2 \le n \log_{10} \frac{24}{10} < 3$

$2 \le n (\log_{10} 24 - \log_{10} 10) < 3$

$2 \le n (\log_{10} (2^3 \cdot 3) - 1) < 3$

$2 \le n (3 \log_{10} 2 + \log_{10} 3 - 1) < 3$

$\log_{10} 2 = 0.3010$、$\log_{10} 3 = 0.4771$ を代入すると、

$2 \le n (3(0.3010) + 0.4771 - 1) < 3$

$2 \le n (0.9030 + 0.4771 - 1) < 3$

$2 \le n (1.3801 - 1) < 3$

$2 \le 0.3801n < 3$

各辺を $0.3801$ で割ると、

$\frac{2}{0.3801} \le n < \frac{3}{0.3801}$

$5.26177 \le n < 7.89266$

したがって、$n$ は整数なので、$n = 6, 7$ です。

$n$ の個数は $7 - 6 + 1 = 2$ です。

しかし、計算ミスの可能性があります。

$\log_{10} 2.4 = \log_{10} \frac{12}{5} = \log_{10} 12 - \log_{10} 5 = \log_{10} (2^2 \cdot 3) - \log_{10} \frac{10}{2} = 2 \log_{10} 2 + \log_{10} 3 - (1 - \log_{10} 2) = 3 \log_{10} 2 + \log_{10} 3 - 1 = 3 \times 0.3010 + 0.4771 - 1 = 0.9030 + 0.4771 - 1 = 1.3801 - 1 = 0.3801$

$2 \le 0.3801 n < 3$

$\frac{2}{0.3801} \le n < \frac{3}{0.3801}$

$5.26 \le n < 7.89$

$n$ は整数なので、$n = 6, 7$

したがって、$n$ の個数は $2$ 個です。

$n=6$のとき、$2.4^6 = (2.4^2)^3 = (5.76)^3 = 191.102976$

$n=7$のとき、$2.4^7 = 2.4^6 \times 2.4 = 191.102976 \times 2.4 = 458.6471424$

$n=8$のとき、$2.4^8 = 2.4^7 \times 2.4 = 458.6471424 \times 2.4 = 1100.75314176$

$2 \le n (3\log_{10} 2 + \log_{10} 3 - 1) < 3$

$2 \le n (3(0.3010) + 0.4771 - 1) < 3$

$2 \le n (0.903 + 0.4771 - 1) < 3$

$2 \le n(0.3801) < 3$

$5.26 \le n < 7.89$

整数 $n$ は $6, 7$ なので、個数は2個。

3. 最終的な答え

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