2つの関数 $f(x) = x^4 - 4x^3 + 2x^2 + 4x + 3$ と $g(x) = x^2 + ax + b$ がある。$y = g(x)$ のグラフは頂点が $(1, -1)$ の放物線である。 (1) $a$ と $b$ の値を求める。 (2) $f(x)$ を $g(x)$ を用いて $f(x) = p(g(x))^2 + qg(x) + 3$ と表したときの $p$ と $q$ の値を求める。 (3) $0 \le x \le 3$ のとき、$f(x)$ の最小値とそのときの $x$ の値を求める。

1. 問題の内容

2つの関数 $f(x) = x^4 - 4x^3 + 2x^2 + 4x + 3$ と $g(x) = x^2 + ax + b$ がある。$y = g(x)$ のグラフは頂点が $(1, -1)$ の放物線である。

(1) $a$ と $b$ の値を求める。

(2) $f(x)$ を $g(x)$ を用いて $f(x) = p(g(x))^2 + qg(x) + 3$ と表したときの $p$ と $q$ の値を求める。

(3) $0 \le x \le 3$ のとき、$f(x)$ の最小値とそのときの $x$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $g(x)$ のグラフの頂点が $(1, -1)$ であることから、$g(x) = (x - 1)^2 - 1 = x^2 - 2x + 1 - 1 = x^2 - 2x$ である。

したがって、$a = -2$、 $b = 0$ である。

(2) $g(x) = x^2 - 2x$ であるから、

$g(x)^2 = (x^2 - 2x)^2 = x^4 - 4x^3 + 4x^2$ となる。

$f(x) = x^4 - 4x^3 + 2x^2 + 4x + 3$ を $g(x)^2$ と $g(x)$ を用いて表すと、

$f(x) = (x^4 - 4x^3 + 4x^2) - 2x^2 + 4x + 3 = g(x)^2 - 2(x^2 - 2x) + 3 = g(x)^2 - 2g(x) + 3$ となる。

したがって、$p = 1$、$q = -2$ である。

(3) $f(x) = (g(x) - 1)^2 + 2$ であるから、$f(x)$ が最小となるのは $g(x)$ が 1 に近い時である。

$g(x) = x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1$ である。

$0 \le x \le 3$ のとき、$g(x)$ の最小値は $x = 1$ のとき $-1$ である。$g(1)=-1$なので、$f(1)=(g(1)-1)^2+2=(-1-1)^2+2=(-2)^2+2=6$

$g(x)=1$となるのは、$x^2-2x=1$, つまり、$x^2-2x-1=0$のときである。

$x = \frac{2\pm\sqrt{4+4}}{2}=1\pm\sqrt{2}$である。

$x = 1 + \sqrt{2}$ のとき、$g(1+\sqrt{2})=1$なので、$f(1+\sqrt{2})=(g(1+\sqrt{2})-1)^2+2=(1-1)^2+2=2$。

また、$g(0) = 0$ なので $f(0) = (0 - 1)^2 + 2 = 3$、$g(3) = 9 - 6 = 3$ なので $f(3) = (3 - 1)^2 + 2 = 6$。

したがって、$0 \le x \le 3$ のとき、$f(x)$ の最小値は $2$ で、そのときの $x$ の値は $1 + \sqrt{2}$ である。

3. 最終的な答え

7: ウ (-2)

8: イ (0)

9: ア (1)

10: ウ (-2)

11: ウ (2)

12: ア ($1+\sqrt{2}$)