写像 $f: A \to B$ と、集合 $A$ の部分集合族 $\{P_\lambda\}_{\lambda \in \Lambda}$ が与えられたとき、次の包含関係について、「正しい」、「全射なら正しい」、「単射なら正しい」のうち最も適切なものを答える。 $\bigcap_{\lambda \in \Lambda} f(P_\lambda) \subset f(\bigcap_{\lambda \in \Lambda} P_\lambda)$.

1. 問題の内容

写像 $f: A \to B$ と、集合 $A$ の部分集合族 $\{P_\lambda\}_{\lambda \in \Lambda}$ が与えられたとき、次の包含関係について、「正しい」、「全射なら正しい」、「単射なら正しい」のうち最も適切なものを答える。

$\bigcap_{\lambda \in \Lambda} f(P_\lambda) \subset f(\bigcap_{\lambda \in \Lambda} P_\lambda)$.

2. 解き方の手順

まず、一般的に包含関係が成立するかどうかを検討し、成立しない場合にどのような条件が追加されれば成立するかを検討する。

(1) 一般的な場合:

$y \in \bigcap_{\lambda \in \Lambda} f(P_\lambda)$ とする。これは任意の $\lambda \in \Lambda$ に対して $y \in f(P_\lambda)$ を意味する。したがって、任意の $\lambda \in \Lambda$ に対してある $x_\lambda \in P_\lambda$ が存在して $f(x_\lambda) = y$ が成り立つ。ここで、すべての $\lambda \in \Lambda$ に対して $x_\lambda$ が同じであるとは限らないため、$y \in f(\bigcap_{\lambda \in \Lambda} P_\lambda)$ とは限らない。したがって、一般には $\bigcap_{\lambda \in \Lambda} f(P_\lambda) \subset f(\bigcap_{\lambda \in \Lambda} P_\lambda)$ は成立しない。

(2) $f$ が単射の場合:

$y \in \bigcap_{\lambda \in \Lambda} f(P_\lambda)$ とする。このとき、任意の $\lambda \in \Lambda$ に対して $y \in f(P_\lambda)$ である。よって、各 $\lambda \in \Lambda$ に対して $x_\lambda \in P_\lambda$ が存在し、$f(x_\lambda) = y$ となる。ここで、$f$ が単射であると仮定すると、$f(x_\lambda) = y$ を満たす $x_\lambda$ は一意に定まる。したがって、すべての $\lambda \in \Lambda$ に対して $x_\lambda$ は同じ値をとる。すなわち、ある $x$ が存在して、すべての $\lambda \in \Lambda$ に対して $x \in P_\lambda$ かつ $f(x) = y$ となる。これは、$x \in \bigcap_{\lambda \in \Lambda} P_\lambda$ かつ $f(x) = y$ を意味する。したがって、$y \in f(\bigcap_{\lambda \in \Lambda} P_\lambda)$ が成り立つ。よって、$\bigcap_{\lambda \in \Lambda} f(P_\lambda) \subset f(\bigcap_{\lambda \in \Lambda} P_\lambda)$ が成立する。

したがって、$f$ が単射であれば、包含関係は成立する。

3. 最終的な答え

単射なら正しい