与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 0 & 2 & 5 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$ の逆行列を、消去法（掃き出し法）を用いて求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 0 & 2 & 5 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$ の逆行列を、消去法（掃き出し法）を用いて求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた行列$A$に単位行列$I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$を並べた拡大行列を作成します。

$$\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 &|& 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 5 &|& 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 &|& 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

次に、この拡大行列を基本変形によって左側が単位行列になるように変形します。

ステップ1: 2行目を1/2倍します。

$$\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 &|& 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5/2 &|& 0 & 1/2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 &|& 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

ステップ2: 3行目を1/3倍します。

$$\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 &|& 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5/2 &|& 0 & 1/2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 &|& 0 & 0 & 1/3 \end{pmatrix}$$

ステップ3: 2行目から3行目の5/2倍を引きます。

$$\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 &|& 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 &|& 0 & 1/2 & -5/6 \\ 0 & 0 & 1 &|& 0 & 0 & 1/3 \end{pmatrix}$$

ステップ4: 1行目から3行目を引きます。

$$\begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 &|& 1 & 0 & -1/3 \\ 0 & 1 & 0 &|& 0 & 1/2 & -5/6 \\ 0 & 0 & 1 &|& 0 & 0 & 1/3 \end{pmatrix}$$

ステップ5: 1行目に2行目の2倍を加えます。

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 &|& 1 & 1 & -4/3 \\ 0 & 1 & 0 &|& 0 & 1/2 & -5/6 \\ 0 & 0 & 1 &|& 0 & 0 & 1/3 \end{pmatrix}$$

左側が単位行列になったので、右側の行列が求める逆行列です。

3. 最終的な答え

逆行列は以下のようになります。

$$A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -4/3 \\ 0 & 1/2 & -5/6 \\ 0 & 0 & 1/3 \end{pmatrix}$$