$n$ を2以上の自然数とする。$n$個の数 $1, 2, \dots, n$ のうち異なる2つの数の積の総和を求めよ。ただし、$a \times b$ と $b \times a$ は同じものとする。

1. 問題の内容

$n$ を2以上の自然数とする。$n$個の数 $1, 2, \dots, n$ のうち異なる2つの数の積の総和を求めよ。ただし、$a \times b$ と $b \times a$ は同じものとする。

2. 解き方の手順

求める和を $S$ とする。全体の和の二乗から計算すると考えやすい。

$(1+2+\dots+n)^2$ を展開すると、

$(1+2+\dots+n)^2 = 1^2 + 2^2 + \dots + n^2 + 2(1\cdot2 + 1\cdot3 + \dots + (n-1)\cdot n)$

となる。ここで $S$ は $1\cdot2 + 1\cdot3 + \dots + (n-1)\cdot n$ に等しい。

従って、

$(1+2+\dots+n)^2 = \sum_{k=1}^n k^2 + 2S$

$S = \frac{1}{2} [ (\sum_{k=1}^n k)^2 - \sum_{k=1}^n k^2 ]$

$\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

よって、

$S = \frac{1}{2} [ (\frac{n(n+1)}{2})^2 - \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} ]$

$S = \frac{1}{2} [ \frac{n^2 (n+1)^2}{4} - \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} ]$

$S = \frac{n(n+1)}{2} [ \frac{n(n+1)}{4} - \frac{2n+1}{6} ]$

$S = \frac{n(n+1)}{2} [ \frac{3n(n+1) - 2(2n+1)}{12} ]$

$S = \frac{n(n+1)}{24} [ 3n^2 + 3n - 4n - 2 ]$

$S = \frac{n(n+1)}{24} [ 3n^2 - n - 2 ]$

$S = \frac{n(n+1)}{24} (n-1)(3n+2)$

$S = \frac{n(n+1)(n-1)(3n+2)}{24}$

$S = \frac{n(n^2-1)(3n+2)}{24}$

$S = \frac{n(3n^3 + 2n^2 - 3n - 2)}{24}$

$S = \frac{3n^4 + 2n^3 - 3n^2 - 2n}{24}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(n+1)(n-1)(3n+2)}{24}$

または

$\frac{3n^4 + 2n^3 - 3n^2 - 2n}{24}$