3次方程式 $x^3 - 6x + 3 = 0$ の実数解の個数を求めよ。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 - 6x + 3 = 0$ の実数解の個数を求めよ。

2. 解き方の手順

関数 $f(x) = x^3 - 6x + 3$ を考えます。

この関数の増減を調べます。

まず、$f(x)$ を微分します。

$f'(x) = 3x^2 - 6$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$3x^2 - 6 = 0$

$x^2 = 2$

$x = \pm \sqrt{2}$

$x = -\sqrt{2}$ と $x = \sqrt{2}$ は極値を与える点です。

$f(-\sqrt{2}) = (-\sqrt{2})^3 - 6(-\sqrt{2}) + 3 = -2\sqrt{2} + 6\sqrt{2} + 3 = 4\sqrt{2} + 3$

$f(\sqrt{2}) = (\sqrt{2})^3 - 6(\sqrt{2}) + 3 = 2\sqrt{2} - 6\sqrt{2} + 3 = -4\sqrt{2} + 3$

ここで、$4\sqrt{2} + 3 > 0$ であり、$-4\sqrt{2} + 3 < 0$ であることに注意します。

$f(-\sqrt{2}) > 0$ かつ $f(\sqrt{2}) < 0$ であるため、関数 $f(x)$ は $x < -\sqrt{2}$ で単調増加、$x = -\sqrt{2}$ で極大値 $4\sqrt{2}+3$ をとり、$-\sqrt{2} < x < \sqrt{2}$ で単調減少、$x = \sqrt{2}$ で極小値 $-4\sqrt{2}+3$ をとり、$x > \sqrt{2}$ で単調増加します。

$f(x)$ は $x \to -\infty$ で $-\infty$ に発散、$x \to \infty$ で $\infty$ に発散します。

従って、3次方程式 $x^3 - 6x + 3 = 0$ は相異なる3つの実数解を持ちます。

3. 最終的な答え

3個