関数 $f(x) = x^4 - 2x^2 + 3$ の $-2 < x < 2$ における最小値を求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^4 - 2x^2 + 3$ の $-2 < x < 2$ における最小値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$t = x^2$ とおくと、$f(x)$ は $t$ の関数として $g(t) = t^2 - 2t + 3$ と表せます。

ここで、$-2 < x < 2$ より、$0 \le x^2 < 4$ なので、$0 \le t < 4$ となります。

$g(t)$ を平方完成すると、$g(t) = (t-1)^2 + 2$ となります。

$g(t)$ は $t=1$ のとき最小値 $2$ をとります。

$t=1$ のとき、$x^2 = 1$ なので、$x = \pm 1$ であり、これは $-2 < x < 2$ を満たします。

次に、区間の端点における値を考えます。

$t=0$ のとき、$x=0$ であり、$f(0) = 3$ です。

$t$ が $4$ に近づくとき、$x$ は $\pm 2$ に近づきますが、区間 $-2 < x < 2$ には含まれません。

$x=\pm 2$ のとき、$f(\pm 2) = (\pm 2)^4 - 2(\pm 2)^2 + 3 = 16 - 8 + 3 = 11$ です。

$t=1$ のとき、$x = \pm 1$ であり、$f(\pm 1) = (\pm 1)^4 - 2(\pm 1)^2 + 3 = 1 - 2 + 3 = 2$ です。

3. 最終的な答え

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