4次方程式 $3x^4 - 4x^3 - 12x^2 + 5 = 0$ は正の解を何個持つか？

1. 問題の内容

4次方程式 $3x^4 - 4x^3 - 12x^2 + 5 = 0$ は正の解を何個持つか？

2. 解き方の手順

まず、関数 $f(x) = 3x^4 - 4x^3 - 12x^2 + 5$ を定義します。

正の解の個数を調べるために、関数の増減を調べます。

$f'(x)$ を計算します。

$f'(x) = 12x^3 - 12x^2 - 24x = 12x(x^2 - x - 2) = 12x(x-2)(x+1)$

$f'(x) = 0$ となる $x$ の値は、 $x = -1, 0, 2$ です。

$x > 0$ の範囲で $f(x)$ の増減表を作成します。

| x | 0 | ... | 2 | ... |

|---|---|---|---|---|

| f'(x) | | - | 0 | + |

| f(x) | 5 | ↘ | f(2) | ↗ |

$f(2) = 3(2^4) - 4(2^3) - 12(2^2) + 5 = 3(16) - 4(8) - 12(4) + 5 = 48 - 32 - 48 + 5 = -27$

$f(0) = 5$ であり、$f(2) = -27$ です。

$x > 0$ の範囲で、$f(x)$ は $x=0$ で $f(0) = 5$ から減少し、$x=2$ で $f(2) = -27$ となり、その後増加します。

$f(x)$ は $x \to \infty$ で正の無限大に発散します。

したがって、$x>0$ の範囲で、$f(x)=0$ は2つの解を持ちます。

3. 最終的な答え

2個