不等式 $(\frac{1}{2})^n < 0.01$ を満たす最小の整数 $n$ を求めよ。ただし、$\log_{10} 2 = 0.3010$, $\log_{10} 3 = 0.4771$ とする。

1. 問題の内容

不等式 $(\frac{1}{2})^n < 0.01$ を満たす最小の整数 $n$ を求めよ。ただし、$\log_{10} 2 = 0.3010$, $\log_{10} 3 = 0.4771$ とする。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式の両辺の常用対数をとります。

$\log_{10} (\frac{1}{2})^n < \log_{10} 0.01$

$n \log_{10} (\frac{1}{2}) < \log_{10} 10^{-2}$

$n (\log_{10} 1 - \log_{10} 2) < -2$

$n (0 - \log_{10} 2) < -2$

$-n \log_{10} 2 < -2$

両辺を $-1$ で割ると不等号の向きが変わるので、

$n \log_{10} 2 > 2$

ここで、$\log_{10} 2 = 0.3010$ なので、

$0.3010n > 2$

$n > \frac{2}{0.3010} = \frac{2000}{301}$

$\frac{2000}{301} \approx 6.6445$

$n$ は整数なので、これを満たす最小の整数は $7$ である。

3. 最終的な答え

7