2次関数 $y = -x^2 + 2mx - 5m$ について、以下の問いに答える。 (1) この関数の最大値を $k$ とするとき、$k$ を $m$ の式で表す。 (2) 最大値 $k$ が 14 であるとき、$m$ の値を求める。 (3) $k$ の値を最小にする $m$ の値と、$k$ の最小値を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $y = -x^2 + 2mx - 5m$ について、以下の問いに答える。

(1) この関数の最大値を $k$ とするとき、$k$ を $m$ の式で表す。

(2) 最大値 $k$ が 14 であるとき、$m$ の値を求める。

(3) $k$ の値を最小にする $m$ の値と、$k$ の最小値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 最大値 $k$ を $m$ の式で表す。

2次関数 $y = -x^2 + 2mx - 5m$ を平方完成する。

$y = -(x^2 - 2mx) - 5m$

$y = -(x^2 - 2mx + m^2 - m^2) - 5m$

$y = -(x - m)^2 + m^2 - 5m$

したがって、最大値 $k$ は $k = m^2 - 5m$ となる。

(2) 最大値 $k$ が 14 であるとき、$m$ の値を求める。

$k = 14$ を $k = m^2 - 5m$ に代入すると、

$14 = m^2 - 5m$

$m^2 - 5m - 14 = 0$

$(m - 7)(m + 2) = 0$

したがって、$m = 7, -2$ となる。

(3) $k$ の値を最小にする $m$ の値と、$k$ の最小値を求める。

$k = m^2 - 5m$ を平方完成する。

$k = m^2 - 5m + (\frac{5}{2})^2 - (\frac{5}{2})^2$

$k = (m - \frac{5}{2})^2 - \frac{25}{4}$

したがって、$m = \frac{5}{2}$ のとき、$k$ は最小値 $-\frac{25}{4}$ をとる。

3. 最終的な答え

(1) $k = m^2 - 5m$

(2) $m = 7, -2$

(3) $m = \frac{5}{2}$, $k = -\frac{25}{4}$