次の式を計算せよ。 $\frac{2 - \sqrt{6}}{\sqrt{2}} - \frac{3 + \sqrt{6}}{\sqrt{3}}$

1. 問題の内容

次の式を計算せよ。

$\frac{2 - \sqrt{6}}{\sqrt{2}} - \frac{3 + \sqrt{6}}{\sqrt{3}}$

2. 解き方の手順

まず、それぞれの分数を有理化します。

$\frac{2 - \sqrt{6}}{\sqrt{2}}$ の分母と分子に $\sqrt{2}$ をかけると、

$\frac{(2 - \sqrt{6})\sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2} - \sqrt{12}}{2} = \frac{2\sqrt{2} - 2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{2} - \sqrt{3}$

$\frac{3 + \sqrt{6}}{\sqrt{3}}$ の分母と分子に $\sqrt{3}$ をかけると、

$\frac{(3 + \sqrt{6})\sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3} + \sqrt{18}}{3} = \frac{3\sqrt{3} + 3\sqrt{2}}{3} = \sqrt{3} + \sqrt{2}$

したがって、

$\frac{2 - \sqrt{6}}{\sqrt{2}} - \frac{3 + \sqrt{6}}{\sqrt{3}} = (\sqrt{2} - \sqrt{3}) - (\sqrt{3} + \sqrt{2}) = \sqrt{2} - \sqrt{3} - \sqrt{3} - \sqrt{2} = -2\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$-2\sqrt{3}$