与えられた二次関数の定義域における最大値と最小値を求めます。 (1) $y = -2x^2 - 4x + 1 (-2 \le x < 1)$ (2) $y = x^2 + 3x + 3 (0 < x \le 2)$ (3) $y = 3(x+1)(x-2) (0 \le x \le 3)$ (4) $y = 2x^2 - x - 2 (-1 < x < 2)$

はい、承知いたしました。画像の問題を解きます。

1. 問題の内容

与えられた二次関数の定義域における最大値と最小値を求めます。

(1) $y = -2x^2 - 4x + 1 (-2 \le x < 1)$

(2) $y = x^2 + 3x + 3 (0 < x \le 2)$

(3) $y = 3(x+1)(x-2) (0 \le x \le 3)$

(4) $y = 2x^2 - x - 2 (-1 < x < 2)$

2. 解き方の手順

(1) $y = -2x^2 - 4x + 1$

平方完成します。

$y = -2(x^2 + 2x) + 1 = -2((x+1)^2 - 1) + 1 = -2(x+1)^2 + 2 + 1 = -2(x+1)^2 + 3$

頂点は $(-1, 3)$ です。上に凸なグラフです。

定義域は $-2 \le x < 1$ です。

$x = -1$ のとき、最大値 $3$ をとります。

$x = -2$ のとき、 $y = -2(-2+1)^2 + 3 = -2 + 3 = 1$

$x = 1$ のとき、 $y = -2(1+1)^2 + 3 = -8 + 3 = -5$

定義域に$x=1$は含まれないので、$x$が$1$に近づく時、$y$は$-5$に近づきます。したがって、最小値はありません。

(2) $y = x^2 + 3x + 3$

平方完成します。

$y = (x + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} + 3 = (x + \frac{3}{2})^2 + \frac{3}{4}$

頂点は $(-\frac{3}{2}, \frac{3}{4})$ です。下に凸なグラフです。

定義域は $0 < x \le 2$ です。

$x = 0$ のとき、 $y = 3$

$x = 2$ のとき、 $y = 2^2 + 3 \times 2 + 3 = 4 + 6 + 3 = 13$

$0 < x$なので最小値はありません。

$x=2$のとき、最大値$13$を取ります。

(3) $y = 3(x+1)(x-2)$

$y = 3(x^2 - x - 2) = 3x^2 - 3x - 6$

平方完成します。

$y = 3(x^2 - x) - 6 = 3((x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}) - 6 = 3(x - \frac{1}{2})^2 - \frac{3}{4} - 6 = 3(x - \frac{1}{2})^2 - \frac{27}{4}$

頂点は $(\frac{1}{2}, -\frac{27}{4})$ です。下に凸なグラフです。

定義域は $0 \le x \le 3$ です。

$x = \frac{1}{2}$ のとき、最小値 $-\frac{27}{4}$ をとります。

$x = 0$ のとき、 $y = 3(1)(-2) = -6$

$x = 3$ のとき、 $y = 3(4)(1) = 12$

最大値は$12$です。

(4) $y = 2x^2 - x - 2$

平方完成します。

$y = 2(x^2 - \frac{1}{2}x) - 2 = 2((x - \frac{1}{4})^2 - \frac{1}{16}) - 2 = 2(x - \frac{1}{4})^2 - \frac{1}{8} - 2 = 2(x - \frac{1}{4})^2 - \frac{17}{8}$

頂点は $(\frac{1}{4}, -\frac{17}{8})$ です。下に凸なグラフです。

定義域は $-1 < x < 2$ です。

$x = \frac{1}{4}$ のとき、最小値 $-\frac{17}{8}$ をとります。

$x = -1$ のとき、 $y = 2(-1)^2 - (-1) - 2 = 2 + 1 - 2 = 1$

$x = 2$ のとき、 $y = 2(2)^2 - 2 - 2 = 8 - 2 - 2 = 4$

定義域から、最大値はありません。

3. 最終的な答え

(1) 最大値: 3 (x = -1)、最小値: なし

(2) 最大値: 13 (x = 2)、最小値: なし

(3) 最大値: 12 (x = 3)、最小値: -27/4 (x = 1/2)

(4) 最大値: なし、最小値: -17/8 (x = 1/4)