$16a^4 - b^4$を因数分解します。

わかりました。OCRの結果をもとに以下の4つの問題を解きます。

(7) $16a^4 - b^4$

(8) $81x^4 - 16y^4$

(9) $(a+b+3)(a+b-2)+4$

(10) $(x^2+2x)^2 - 18(x^2+2x) + 45$

**問題(7)**

1. 問題の内容

$16a^4 - b^4$を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、$16a^4$を$(4a^2)^2$、$b^4$を$(b^2)^2$と見ます。すると、これは$A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$の形の因数分解が使えます。

$A = 4a^2, B = b^2$とすると、

$16a^4 - b^4 = (4a^2 + b^2)(4a^2 - b^2)$

さらに、$4a^2 - b^2$は $(2a)^2 - b^2$なので、これも$A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$の形で因数分解できます。$A = 2a, B = b$とすると、

$4a^2 - b^2 = (2a+b)(2a-b)$

したがって、

$16a^4 - b^4 = (4a^2 + b^2)(2a+b)(2a-b)$

3. 最終的な答え

$(4a^2 + b^2)(2a+b)(2a-b)$

**問題(8)**

1. 問題の内容

$81x^4 - 16y^4$を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、$81x^4$を$(9x^2)^2$、$16y^4$を$(4y^2)^2$と見ます。すると、$A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$の形の因数分解が使えます。

$A = 9x^2, B = 4y^2$とすると、

$81x^4 - 16y^4 = (9x^2 + 4y^2)(9x^2 - 4y^2)$

さらに、$9x^2 - 4y^2$は $(3x)^2 - (2y)^2$なので、これも$A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$の形で因数分解できます。$A = 3x, B = 2y$とすると、

$9x^2 - 4y^2 = (3x+2y)(3x-2y)$

したがって、

$81x^4 - 16y^4 = (9x^2 + 4y^2)(3x+2y)(3x-2y)$

3. 最終的な答え

$(9x^2 + 4y^2)(3x+2y)(3x-2y)$

**問題(9)**

1. 問題の内容

$(a+b+3)(a+b-2)+4$を因数分解します。

2. 解き方の手順

$a+b = X$とおくと、与式は

$(X+3)(X-2)+4$となります。展開すると

$X^2 + X - 6 + 4 = X^2 + X - 2$

これは $(X+2)(X-1)$と因数分解できます。

$X$を$a+b$に戻すと、

$(a+b+2)(a+b-1)$

3. 最終的な答え

$(a+b+2)(a+b-1)$

**問題(10)**

1. 問題の内容

$(x^2+2x)^2 - 18(x^2+2x) + 45$を因数分解します。

2. 解き方の手順

$x^2+2x = X$とおくと、与式は

$X^2 - 18X + 45$となります。

これは $(X-3)(X-15)$と因数分解できます。

$X$を$x^2+2x$に戻すと、

$(x^2+2x-3)(x^2+2x-15)$

$x^2+2x-3$は$(x+3)(x-1)$と因数分解できます。

$x^2+2x-15$は$(x+5)(x-3)$と因数分解できます。

したがって、

$(x^2+2x-3)(x^2+2x-15) = (x+3)(x-1)(x+5)(x-3)$

3. 最終的な答え

$(x+3)(x-1)(x+5)(x-3)$