$n$を2以上の自然数とする。$n$個の数$1, 2, ..., n$の中から異なる2つの数を選び、その積を計算する。そのような積の総和を求めよ。ただし、$a \times b$ と $b \times a$ は同じものとする。

1. 問題の内容

$n$を2以上の自然数とする。$n$個の数$1, 2, ..., n$の中から異なる2つの数を選び、その積を計算する。そのような積の総和を求めよ。ただし、$a \times b$ と $b \times a$ は同じものとする。

2. 解き方の手順

まず、$1$から$n$までの数の総和を$S_1$、平方和を$S_2$と定義する。

$S_1 = \sum_{k=1}^{n} k = 1 + 2 + ... + n = \frac{n(n+1)}{2}$

$S_2 = \sum_{k=1}^{n} k^2 = 1^2 + 2^2 + ... + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

次に、$(1 + 2 + ... + n)^2$を展開すると、

$(1 + 2 + ... + n)^2 = 1^2 + 2^2 + ... + n^2 + 2(1 \cdot 2 + 1 \cdot 3 + ... + (n-1) \cdot n)$

したがって、求める積の総和を$A$とすると、

$A = 1 \cdot 2 + 1 \cdot 3 + ... + (n-1) \cdot n$

上記の式より、

$(\sum_{k=1}^{n} k)^2 = \sum_{k=1}^{n} k^2 + 2A$

よって、

$A = \frac{(\sum_{k=1}^{n} k)^2 - \sum_{k=1}^{n} k^2}{2}$

$A = \frac{S_1^2 - S_2}{2}$

$A = \frac{(\frac{n(n+1)}{2})^2 - \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}{2}$

$A = \frac{\frac{n^2(n+1)^2}{4} - \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}{2}$

$A = \frac{n(n+1)}{2} \cdot \frac{\frac{n(n+1)}{2} - \frac{2n+1}{3}}{2}$

$A = \frac{n(n+1)}{2} \cdot \frac{3n(n+1) - 2(2n+1)}{6} \cdot \frac{1}{2}$

$A = \frac{n(n+1)}{24} (3n^2 + 3n - 4n - 2)$

$A = \frac{n(n+1)}{24} (3n^2 - n - 2)$

$A = \frac{n(n+1)(3n+2)(n-1)}{24}$

$A = \frac{n(n+1)(n-1)(3n+2)}{24}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(n+1)(n-1)(3n+2)}{24}$

または

$\frac{n(n+1)(3n^2-n-2)}{24}$

または

$\frac{3n^4+2n^3-3n^2-2n}{24}$