与えられた数式を計算して、最終的な値を求める問題です。数式は以下です。 $8(\sqrt{5} + \frac{1}{\sqrt{2}})(\frac{\sqrt{10}}{3} - 1) - \frac{7}{\sqrt{18}}$

1. 問題の内容

与えられた数式を計算して、最終的な値を求める問題です。数式は以下です。

$8(\sqrt{5} + \frac{1}{\sqrt{2}})(\frac{\sqrt{10}}{3} - 1) - \frac{7}{\sqrt{18}}$

2. 解き方の手順

ステップ1: $\frac{1}{\sqrt{2}}$ を有理化します。

$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ2: $\sqrt{18}$ を簡単にします。

$\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = \sqrt{9} \times \sqrt{2} = 3\sqrt{2}$

したがって、$\frac{7}{\sqrt{18}} = \frac{7}{3\sqrt{2}}$

$\frac{7}{3\sqrt{2}}$ を有理化します。

$\frac{7}{3\sqrt{2}} = \frac{7 \times \sqrt{2}}{3\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{7\sqrt{2}}{3 \times 2} = \frac{7\sqrt{2}}{6}$

ステップ3: $(\sqrt{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})(\frac{\sqrt{10}}{3} - 1)$ を展開します。

$(\sqrt{5} + \frac{\sqrt{2}}{2})(\frac{\sqrt{10}}{3} - 1) = \sqrt{5} \times \frac{\sqrt{10}}{3} - \sqrt{5} + \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{10}}{3} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

$= \frac{\sqrt{50}}{3} - \sqrt{5} + \frac{\sqrt{20}}{6} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

$= \frac{\sqrt{25 \times 2}}{3} - \sqrt{5} + \frac{\sqrt{4 \times 5}}{6} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

$= \frac{5\sqrt{2}}{3} - \sqrt{5} + \frac{2\sqrt{5}}{6} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

$= \frac{5\sqrt{2}}{3} - \sqrt{5} + \frac{\sqrt{5}}{3} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

$= (\frac{5}{3} - \frac{1}{2})\sqrt{2} + (\frac{1}{3} - 1)\sqrt{5}$

$= (\frac{10}{6} - \frac{3}{6})\sqrt{2} + (\frac{1}{3} - \frac{3}{3})\sqrt{5}$

$= \frac{7\sqrt{2}}{6} - \frac{2\sqrt{5}}{3}$

ステップ4: $8(\frac{7\sqrt{2}}{6} - \frac{2\sqrt{5}}{3})$ を計算します。

$8(\frac{7\sqrt{2}}{6} - \frac{2\sqrt{5}}{3}) = \frac{56\sqrt{2}}{6} - \frac{16\sqrt{5}}{3} = \frac{28\sqrt{2}}{3} - \frac{16\sqrt{5}}{3}$

ステップ5: $\frac{28\sqrt{2}}{3} - \frac{16\sqrt{5}}{3} - \frac{7\sqrt{2}}{6}$ を計算します。

$\frac{28\sqrt{2}}{3} - \frac{16\sqrt{5}}{3} - \frac{7\sqrt{2}}{6} = \frac{56\sqrt{2}}{6} - \frac{32\sqrt{5}}{6} - \frac{7\sqrt{2}}{6}$

$= \frac{56\sqrt{2} - 7\sqrt{2}}{6} - \frac{32\sqrt{5}}{6}$

$= \frac{49\sqrt{2}}{6} - \frac{16\sqrt{5}}{3}$

$= \frac{49\sqrt{2} - 32\sqrt{5}}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{49\sqrt{2} - 32\sqrt{5}}{6}$