与えられた2次方程式が重解を持つように定数 $k$ の値を定め、そのときの重解を求める問題です。

はい、承知いたしました。以下の形式で、問題(1)から(4)まで解いていきます。

1. 問題の内容

与えられた2次方程式が重解を持つように定数 $k$ の値を定め、そのときの重解を求める問題です。

2. 解き方の手順

2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ が重解を持つ条件は、判別式 $D = b^2 - 4ac = 0$ となることです。この条件を用いて $k$ の値を求め、元の2次方程式に代入して重解を求めます。

(1) $4x^2 + 20x - k = 0$

判別式 $D = 20^2 - 4(4)(-k) = 400 + 16k$

重解を持つ条件は $D = 0$ なので、

$400 + 16k = 0$

$16k = -400$

$k = -25$

このとき、2次方程式は $4x^2 + 20x + 25 = 0$ となり、$(2x+5)^2 = 0$ と変形できるので、重解は $x = -\frac{5}{2}$

(2) $kx^2 - (2k+1)x + 2 = 0$

判別式 $D = (2k+1)^2 - 4(k)(2) = 4k^2 + 4k + 1 - 8k = 4k^2 - 4k + 1 = (2k-1)^2$

重解を持つ条件は $D = 0$ なので、

$(2k-1)^2 = 0$

$2k - 1 = 0$

$k = \frac{1}{2}$

このとき、2次方程式は $\frac{1}{2}x^2 - 2x + 2 = 0$ となり、$x^2 - 4x + 4 = 0$ と変形できるので、$(x-2)^2 = 0$ より、重解は $x = 2$

(3) $x^2 + (k-2)x - 2k + 1 = 0$

判別式 $D = (k-2)^2 - 4(1)(-2k+1) = k^2 - 4k + 4 + 8k - 4 = k^2 + 4k$

重解を持つ条件は $D = 0$ なので、

$k^2 + 4k = 0$

$k(k+4) = 0$

$k = 0, -4$

$k=0$ のとき、$x^2 - 2x + 1 = 0$ より、$(x-1)^2 = 0$ となり、重解は $x = 1$

$k=-4$ のとき、$x^2 - 6x + 9 = 0$ より、$(x-3)^2 = 0$ となり、重解は $x = 3$

(4) $(2k^2+7)x^2 + (3k+1)x + 1 = 0$

判別式 $D = (3k+1)^2 - 4(2k^2+7)(1) = 9k^2 + 6k + 1 - 8k^2 - 28 = k^2 + 6k - 27$

重解を持つ条件は $D = 0$ なので、

$k^2 + 6k - 27 = 0$

$(k+9)(k-3) = 0$

$k = -9, 3$

$k=-9$ のとき、$169x^2 - 26x + 1 = 0$ より、$(13x-1)^2 = 0$ となり、重解は $x = \frac{1}{13}$

$k=3$ のとき、$25x^2 + 10x + 1 = 0$ より、$(5x+1)^2 = 0$ となり、重解は $x = -\frac{1}{5}$

3. 最終的な答え

(1) $k = -25$, 重解: $x = -\frac{5}{2}$

(2) $k = \frac{1}{2}$, 重解: $x = 2$

(3) $k = 0$ のとき重解 $x = 1$, $k = -4$ のとき重解 $x = 3$

(4) $k = -9$ のとき重解 $x = \frac{1}{13}$, $k = 3$ のとき重解 $x = -\frac{1}{5}$