次の連立不等式を解きます。 $\begin{cases} x^2 - 2x - 1 > 0 \\ x^2 - x - 6 < 0 \end{cases}$

1. 問題の内容

次の連立不等式を解きます。

$\begin{cases}

x^2 - 2x - 1 > 0 \\

x^2 - x - 6 < 0

\end{cases}$

2. 解き方の手順

まず、1つ目の不等式 $x^2 - 2x - 1 > 0$ を解きます。

$x^2 - 2x - 1 = 0$ の解を求めます。

解の公式より、

$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$

したがって、$x^2 - 2x - 1 > 0$ の解は、

$x < 1 - \sqrt{2}$ または $x > 1 + \sqrt{2}$

次に、2つ目の不等式 $x^2 - x - 6 < 0$ を解きます。

$x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2) < 0$

したがって、$x^2 - x - 6 < 0$ の解は、

$-2 < x < 3$

2つの不等式の解の共通範囲を求めます。

$1 - \sqrt{2} \approx 1 - 1.414 = -0.414$

$1 + \sqrt{2} \approx 1 + 1.414 = 2.414$

数直線を書いて、共通範囲を考えると、

$-2 < x < 1 - \sqrt{2}$ または $1 + \sqrt{2} < x < 3$

3. 最終的な答え

$-2 < x < 1-\sqrt{2}$ または $1+\sqrt{2} < x < 3$